1、 1 概率法计算 生活给水管道设计流量 陈和苗 ( 宁波市建筑设计研究院 ,浙江省宁波市 315012) 摘要: 提出 采用概率 法计算住宅类 建筑生活给水管道设计流量 。 建立了二项分布模型与正态分布模型。 对单一 变量 的正态模型与多 变量 的正态模型比较,得出单一 变量 分布函数 简化完全可行 的结论 。 分析了 保证率、卫生器具使用频率等因素对设计流量的影响。 推导出概率法流量公式的通式。 概率法计算生活给水设计 流量 科学 、 准确, 由概率法计算的流量 与实测流量相符。 关键词: 生活给水管道 ; 设计 流量;概率 法; 二项分布模型;正态分布模型 中图分类号: TUJ991.32
2、 Investigation on Calculating the Design Flow in Potable Water Pipeline by Probability Method CHEN He-miao (Ningbo Architecture design binomial random distribution model; normal random distribution model 2 1 引言 生活给水管道设计流量是给水系统中最重要的技术参数之一,因此研究合理的设计流量计算方法具有重要的现实意义。 建筑给水排水设计规范 GB50015-2003(以下简称 规范 )是小区
3、及建筑物内给排水设计的主要依据 。规范所列 的 住宅建筑内的生活给水 管道的设计 流量计算公式是原平方根法计算公式的改良 , 通过计算“最大用水时卫生器具给水当量平均出流率” U0,一定程度上可以体现建筑物内卫生器具的完善程度、用水量定额、生活习惯等因素与设计流量的关系,较之前的 GBJ15-88 1997 版的平方根法,更加丰富、详实、严谨。 但是按此计算方法所得的结果与实际情况存在矛盾,主要表现在:在管段当量数较小时, 按规范 计算所得的流量 偏 大; 当给水当量较大时,计算所得的设计流量可能偏小。 亨脱( Hunter)应用概率论来确定室内生活给水管道的设计流量,并在美、英 、日诸国得到
4、采用。 在国内, 已经 采用概率法计算管道直饮水系统的 设计秒流量 。人们何时使用何种卫生器具属随机事件 , 应 服从离散型随机变量的二项分布,因此 生活给水系统的设计 流量亦可按概率法计算。 2、实测数据 镇祥华在 2002.6-8 月期间对某住宅小区作用水量的调查和实测工作。实测结果发现最高日最大时用水量 Qh 与平均时用水量 Qp 的的比值 Kh(即时变化系数)能较好地符合 规范 ;发现 在最大小时用水时间内,其每分钟的流量并不是均匀不变。若以 5 分钟高峰流量的平均秒流量作为设计 流量 qg,实测的 qg与服务人数的对应关系见表 4.2 实测的 3500 人小区最高日用水量曲线见图 2
5、.1。实测最大流量发生时( 20:00 22: 00)的每分钟的流量曲线见图 2.2。 3 4 3 数学模型 3.1 二项分布模型: 以镇祥华的样本 为例: 每户当量 Ng=2.5;用水定额 150L/(人 .d); 户均 3.5人; 用水时数: 24h; 时变化系数 :K h=2.5。 总户数 F。最大时流量的平均秒流量Qs: Qs=F 3.5 150 2.5/(24 3600)=0.0152F ( 1) 最大用水时卫生器具给水当量的平均出流概率 U0: U0 150 3.5 2.5/(0.2 2.5 24 3600)=0.03=3%. ( 2) Qs 与总量 N、平均出流概率 U0 的关系
6、: Qs N U0 0.2 ( 3) 实际上 , 在用水高峰时段,如在 20: 00 21: 00 时 , 洗浴、冲厕、烹饪、洗衣等设施使用频率并不相同 。 U0 反映的是不同卫生设备在高峰时段的 加权平均使用频率, N U0 表达全部 卫生设备 在 高峰时段 的平均使用 数 。 从严格意义,应实测各不同卫生器具在这高峰时段各自的 用水概率,再依据概率原理进行组合计算,确定设计流量。 在现阶段,实测各不同卫生器具的各自用水概率不太可能,且从本文的计算结果可知,采用平均出流概率 U0 代替卫生器具使用概率 p 在实际工程的设计中能保证足够精度。 在以下计算中,以 1 个当量的卫生器具计 为一个龙
7、头 ,忽略不同卫生器具的种类与动作规律。 根据 Hunter 的定义 , 在 N 个水龙头中,若 0 m个水龙头使用概率的总和不小于 99%,则 m为设计 流量发生时的同时使用水龙头个数,可得设计秒流量Q: Q=m q0 ( 4) N 个龙头在所观察时刻有 m 个同时被使用的概率是 P: 5 P X=m = mNm ppmN 1( m=0, 1, N) (5) 式中 P m个龙头同时用水概率; mN 为在 N 个不同元素中,每次取出 m 个不同元素,不管其顺序合并成一组的组合种数。 mN)!(! ! mNm Nm N 个龙头在所观察时段同时使用的个数; N 管道供水龙头总数 。 p 所观察时刻
8、 ,一个龙头使用的概率。 在 N 个水龙头中,若 0 m个水龙头使用概率的总和不小于 99%, 表达式为: mK P0 X=k 0.99 (6) 或 kNkmK ppkN 10 0.99 ( 7) 若通过计算求得符合上式的 m值,则依据( 4)式可求得管道流量。 在同样的保证率 0.99 时,此计算结果与规范附录 E 饮用净水的计算相一致。同样,对于 0.917 的保 证率也可得到相应数据,计算结果见于表 4.1。 3.2 单一变量的 正态分布模型 根据 棣莫弗拉普拉斯极限定理, 当 N 很大 ,且 Np5, Np(1-p)5时, 服从二项分布 B( N, p )的 随机变量 X可用正态分布
9、N( , 2 )作近似计算。 N 个龙头在所观察时刻有 m 个同时被使用的概率是 P: P X=m =N( , 2 )=N Np,Np(1-p) ( 8) 6 对于 1000户的小区, N 2500, p 0.03 时, Np 75, ( 9) 2 Np(1-p) 72.75。 ( 10) 在 N 个水龙头中,若 0 m个水龙头使用概率的总和 P: P X m =mK P0= )1( pNp Npm - 1- )1( pNpNp ( 11) 式中 N、 m、 p 同式( 5)。 ( x)是标准正态分布 N( 0, 1)的分布函数值(概率积分值) 。 当 N500时, )1( pNpNp )3.
10、4( =1 P X m mK P0 )1( pNp Npm ( 12) 为了使管道在高峰时以 0.99 概率保证供水即: ()1( pNp Npm ) =0.99 ( 13) 查正态分布表有 x)1( pNp Npm =2.33, ( 14) 即 NppNpm )1(33.2 ( 15) 则设计 流量 (L/S) qg=0.2 m=0.2 )1(33.2 pNp 0.2Np ( 16) 或 qg=1.026 Np0.2 0.2Np (17) 或设计 流量 (L/S) qg=1.026 Qs Qs (18) 或设计 流量 (L/S) qg=0.0795 N 0.006N (19) 同样,对于 0
11、.917 的保证率, 相当于在最大用水 1 小时中,有 5 分钟不能保证, x 1.38, 可以求得 m: 7 NppNpm )1(38.1 (20) 或设计流量 (L/S) qg=0.608 Qs Qs (21) 或设计流量 (L/S) qg=0.047 N 0.006N (22) ( 11) ( 22)式尽管为在 N500 时,根据正态分布函数得出的结果,但经 过 验算,在 N 75 时,按此式得到的使用龙头数与用二项 分布模型 求得的使用龙头数吻合得很好。 可见用 正态分布 函数可以简化计算 二项 分布 概率问题。 ( 19) 、 (22)式由 第一项 N 与 第二项 N 组成, N 前
12、的系数相当于单个龙头使用概率。 ( 19) 、 (22)式的形式与原平方根法公式完全一致,但含义完全不同。在 ( 19) 、 (22)式中, 当 N 较大时, 第二项为 流量的主要贡献者;在平方根法中,则为修正项。 3.3 多个独立 变量 的正态分布模型 3.3.1 数学模型 事实上,建筑物内存在多种卫生器具,洗浴、冲厕、烹饪、洗衣等设施使用频率并不相同, 其单个设备的额定流量 也 不同, 按 3.2 节采用单一卫生器具简化计算存在误差。 某实测的卫生器具使用频率见表 3.1。 8 某实 测的卫生器具使用频率 表 3.1 1 洗脸盆 2 洗涤盆 3 淋浴器 4 座便器 给水当量 d 额定流量
13、e( L/s) 使用频率 p 0.8 0.16 0.013 0.7 0.14 0.032 0.5 0.1 0.021 0.5 0.1 0.063 卫生器具给水当量平均出流率 U0 U0 (0.8 0.013+0.7 0.032+0.5 0.021+0.5 0.063)/(0.8+0.7+0.5+0.5)=0.03 若上述四类卫生器具的动作个数分别为 m1、 m2、 m3、 m4,则设计流量 q: q 41Kei mi =0.16m1+0.14m2+0.10m3+0.1m4 =0.2(0.8m1+0.7m2+0.5m3+0.5m4 ) =0.241Kdi mi (23) 若把上述混合器具 (存在
14、四类卫生器具) 管道 中的设计流量 q 折算为当量为 1、额定流量为 0.2L/s 的龙头数量为 m: m 41Kei mi =0.8m1+0.7m2+0.5m3+0.5m4 =41Kdi mi (24) 因 上述四类卫生器具 Xi( i=1, 2, 3, 4)是服从正态分布的独立随机变量,为其参数分别为 i, 2i( i=1, 2, 3, 4),则 混合器具中 作用龙头数量 总和 m也服从正态分布,其参数分别为 41Kdi i, 2 41Kdi2 i2 。 对于 1000 户的小区, 9 41Kdi i 41Kdi Ni pi0.8 1000 0.013+0.7 1000 0.032+0.5
15、 1000 0.021+0.5 1000 0.063 =1000 0.075 75 ( 25) 2 41Kdi2 i2 41Kdi2 Ni pi(1-pi)0.82 1000 0.013(1-0.013)+0.72 1000 0.032(1-0.032)+0.52 1000 0.021(1-0.021)+0.52 1000 0.063(1-0.063) =1000 0.0433=43.3 ( 26) 根据( 15),在 P 0.99 时,则 作用龙头数 m: m=2.33 + =2.33 3.43 +75=90.3 ( 27) 3.3.2 误差分析 在镇详华所测的小区,可能产生 最大流量 的前
16、提是 , 最大当量的卫生器具动作,其余均不动作,若表 3.1 中洗脸盆动作, p1=0.09375,则 对于 1000 户的小区 : 41Kdi i 41Kdi Ni pi 0.8 1000 0.09375 =1000 0.075 75 ( 28) 2 41Kdi2 i2 41Kdi2 Ni pi(1-pi) 0.82 1000 0.09375(1-0.09375) =1000 0.0544=54.4 ( 29) 根据( 15) 式,在 0.99 的保证率下,上述 、 2时的作用龙头数: m= 0 5 4 4.01 0 0 033.2 + 75=92.2 ( 30) 10 若假定 住宅 内卫生
17、器具的最大当量为 1,没有 当量数 1 的卫生器具,则此类住宅小区 理论上 产生最大的 、 2, 理论上 将发生最大设计流量。 对于 1000户的小区, 用水设备 为 2500 个当量数 均 为 1卫生器具 , pi=0.03。 41Kdi i 41Kdi Ni pi 1 2500 0.03 =1000 0.075 75 ( 31) 2 41Kdi2 i2 41Kdi2 Ni pi(1-pi) 12 2500 0.03(1-0.03) =1000 0.07275=72.75 ( 32) 根据( 15) 式,在 0.99的保证率下,上述 、 2时的作用龙头数: m= 0 7 2 7 5.0100033.2 + 75=94.9 ( 33) 可见( 9)式、( 10)式的计算结果分别同( 31)、( 32)式,可见以单一变 量正态分布的简化计算,将产生最大的设计流量 。 比较 (28)式与( 31)式, m m=2.33 07275.01000 -2.33 0544.01000 = 1000 0.085 2.7 (34) 若为 1000 户的小区, 两者的误差率约为 3%。若 为 1000 户 的小区 ,则误差率 3%。若 为 100 户的小区,则 m= 100 0.085=0.85。 可见 采用单一变量正态分布的简化计算, 所 得的计算流量稍大 。