2-6 一维定态的一般性质 一维定态薛定谔方程为 定理1：设 是一维定态薛定谔方程的解，则它的复共轭 也是该方程的一个解，且与 对应同一能量本征值。 证明： 上式两边取复共轭，且考虑到 ，则 定理得证。 定理2：对于一维定态薛定谔方程，如果 和 是对应于同一个能量本征值的两个独立的解，则有 （与 无关的常数） 证明： 上面两式两边分别乘以 和 ，然后相减，得 定理得证。 定理3：对于一维定态薛定谔方程，能级的简并度最大为2。 证明： 设对于同一能量本征值，存在三个独立的波函数，则 令 ，则 即 与假设矛盾。定理得证。 定理4：对一维束缚定态，所有能级都不简并。 证明： 设对于同一能量本征值，存在两个独立的波函数，则 对束缚态： 所以 两者代表同一个量子态，因此能级不简并。 定理得证。 定理5：一维束缚态的本征函数可以是实数。 证明： 由定理1得， 和 都是薛定谔方程的解。由定理4得，它们最多相差一常数因子，即 取复共轭 所以 取 ，则 即本征函数可以取实数。 定理得证。 定理6：设势能具有空间反演不变性，即 。若 是一维定态薛定谔方程的一个解，则 也一定是对应同一个能量本征值的另一个解
