2005年考研数学二真题与解析.DOC

1、 - 1 -2005 年考研数学二真题与解析一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）设 ，则 =_ .xy)sin(|xdy（2） 曲线 的斜渐近线方程为_ .231（3） _ .1022)(xd（4） 微分方程 满足 的解为_ .yln 91)(y（5）当 时， 与 是等价无穷小，则 k= _ .0x2)(kxxxcosarsin（6）设 均为 3 维列向量，记矩阵21,， ，)(A )93,42,( 32131321 B如果 ，那么 .二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

2、要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数 ，则 f(x)在 内nxxf31lim)(),(A) 处处可导 . (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. （8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， 表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有“N(A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数 . （B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数. （9）设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐

3、标是 )1ln(,2tyx(A) . (B) . 32ln813l8(C) . (D) . 2（10）设区域 ，f(x)为 D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则0,4),(2yxyxDdyfxfbaD)()(- 2 -(A) . (B) . (C) . (D) . ab2)(ba2ba（11）设函数 , 其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，yxdtyxu()(),( 则必有(A) . （B ） .22yux22yux(C) . (D) . 22（12）设函数 则,1)(xef(A) x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点.(

4、C) x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点 .(D) x=0 是 f(x)的第二类间断点， x=1 是 f(x)的第一类间断点. （13）设 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则 ， 线性21, 21,1)(2A无关的充分必要条件是(A) . (B) . (C) . (D) . 0102102（14）设 A 为 n（ ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, 分别为 A,B 的伴随矩 *,BA阵，则(A) 交换 的第 1 列与第 2 列得 . (B) 交换 的第 1 行与第 2 行得 . *B*(C) 交换 的第 1

5、列与第 2 列得 . (D) 交换 的第 1 行与第 2 行得 . 三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15） （本题满分 11 分）设函数 f(x)连续，且 ，求极限0)(f .)(lim0xdtf（16） （本题满分 11 分）如图， 和 分别是 和 的图象，过点(0,1) 的曲线 是一单调增函数的图象. 1C2)1(xeyxy3C过 上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 和 . 记 与 所围图形的面积为 ；2 xly21,xl )(1xS与 所围图形的面积为 如果总有 ，求曲线 的方程3,yl ).(2S)(2

6、1S3).(y（17） （本题满分 11 分）如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 与 分别是曲线 C 在点(0,0)与(3,2) 处1l2- 3 -的切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 302.)(dxfx（18） （本题满分 12 分）用变量代换 化简微分方程 ，并求其满足)0(costx )1(2yx的特解.2,100xxy（19） （本题满分 12 分）已知函数 f(x)在 0，1上连续，在 (0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在 使得 ；),(1)(f（II）存在两个不同的点 ，使

7、得,0,.1)(f（20） （本题满分 10 分）已知函数 z=f(x,y) 的全微分 ，并且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y)在椭圆域ydxdz2上的最大值和最小值.14),(2yxD（21） （本题满分 9 分）计算二重积分 ，其中 .dyD2 10,),(yxyD（22） （本题满分 9 分）确定常数 a,使向量组 可由向量组,)1(Ta,)1(2TTa),(3,)1(Ta线性表示，但向量组 不能由向量组 线性表示.,)42(Ta,23232,（23） （本题满分 9 分）已知 3 阶矩阵 A 的第一行是 不全为零，矩阵 （k 为常数） ，且 AB=O, cba,),( B6341

8、求线性方程组 Ax=0 的通解. - 4 -2005 年考研数学二真题解析一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）设 ，则 = .xy)sin(xdydx【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： = ，于是xy)si1()sin1l(xe，icoln)siln(ex从而 =xdy.d方法二： 两边取对数， ，对 x 求导，得)si1l(lxy，yinco)si1ln(于是 ，故si1li xxx=xdy.)(d（2） 曲线 的斜渐近线方程为 .23123xy【分析】

9、 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为 a= ,1)(lim)(li23xxf，2)(li)(li32afbxx于是所求斜渐近线方程为 .3y（3） .1022)(xd4【分析】 作三角代换求积分即可.【详解】 令 ，则tsin1022)(xd02cos)i(dtt= .4)artn(s120 202 ttd- 5 -（4） 微分方程 满足 的解为 .xyxln2 91)(y91ln3xy【分析】直接套用一阶线性微分方程 的通解公式：)(xQP， )()()( CdxeQeydxP再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为，xyln2于是通解为 ln1l

10、 22 CxdCdeeyxdx= ，291ln3由 得 C=0，故所求解为91)(y .91ln3xy（5）当 时， 与 是等价无穷小，则 k= .0x2)(kxxcosarsin)( 43【分析】 题设相当于已知 ，由此确定 k 即可.1)(lim0x【详解】 由题设， 200 cosarsinli)(li kxxx = )csarsi1(cnli20kx= ，得143olim20 kxx .43（6）设 均为 3 维列向量，记矩阵21,， ，)(A )93,2,( 32131321 B如果 ，那么 2 .【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可

11、.【详解】 由题设，有)93,42,( 32131321 = ，94),(321- 6 -于是有 .219432AB二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数 ，则 f(x)在 内nxxf31lim)(),(A) 处处可导 . (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. C 【分析】 先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形 .【详解】 当 时， ；1x1li)(3nxxf当 时， ；mn当 时，1x .)1(li)( 33xxxf nn即

12、 可见 f(x)仅在 x= 时不可导，故应选(C).1,)(3xf （8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， 表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有“N(B) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数. A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ，且xCdtfF0)()( ).(xfF当 F(x)为偶函数时，有 ，于是 ，即 ，也即)(xF1 )(f，可见 f(x)为奇函数；

13、反过来，若 f(x)为奇函数，则 为偶函数，从而)()(xff xdtf0)(为偶函数，可见(A)为正确选项.CdtF0方法二：令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)= , 排除(D); 故应选(A).21x（9）设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐)1ln(,2tyx标是 (A) . (B) . 32ln813l8- 7 -(C) . (D) . A 32ln832ln8【分析】 先由 x=3 确定 t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐

14、标.【详解】 当 x=3 时，有 ，得 （舍去，此时 y 无意义） ，于是2t,1t，可见过点 x=3(此时 y=ln2)的法线方程为：811ttdxy，)3(2lnx令 y=0, 得其与 x 轴交点的横坐标为： , 故应(A).2ln8（10）设区域 ，f(x)为 D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则0,4),(2yxyDdyfxfbaD)()(A) . (B) . (C) . (D) . D 2a)(ba2ba【分析】 由于未知 f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性.【详解】 由轮换对称性，有dyfxfbaD)()( dxfyfD)()(= f

15、fbaff )()()()(21= 应选(D).2412bdbaD（11）设函数 , 其中函数 具有二阶导数， 具有一阶yxdtyxu)()()(),( 导数，则必有(A) . （B ） .22yx22yux(C) . (D) . B 2u2【分析】 先分别求出 、 、 ，再比较答案即可 .2xyxu2【详解】 因为 ，)()()()( yxu - 8 -，)()()()( yxyxyu 于是 ，)()()()(2x，)()()()( yxyxyu ，)()()()(2x可见有 ，应选(B).22yux（12）设函数 则,1)(xef(B) x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点 . （

16、B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点.(C) x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点 .(E) x=0 是 f(x)的第二类间断点， x=1 是 f(x)的第一类间断点. D 【分析】 显然 x=0,x=1 为间断点，其分类主要考虑左右极限 .【详解】 由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点.且 ，所以 x=0 为第二类间断点；)(lim0xf， ，所以 x=1 为第一类间断点，故应选 (D).1x 1)(li1xf（13）设 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则 ，2, 21,1线性无关的充分必要条件

17、是)(21A(A) . (B) . (C) . (D) . B 0102102【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】 方法一：令 ，则)(2121Ak， .02121k 021k由于 线性无关，于是有2,.0,21k- 9 -当 时，显然有 ，此时 ， 线性无关；反过来，若 ，020,21k1)(2A1线性无关，则必然有 (,否则， 与 = 线性相关) ，故应选(B).)(1A1方法二： 由于 ，2212121 0,)(,A可见 ， 线性无关的充要条件是 故应选(B).1)(2 .021（14）设 A 为 n（ ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2

18、 行得矩阵 B, 分别为 A,B 的伴 *,BA随矩阵，则(B) 交换 的第 1 列与第 2 列得 . (B) 交换 的第 1 行与第 2 行得 . *B*(C) 交换 的第 1 列与第 2 列得 . (D) 交换 的第 1 行与第 2 行得 . C 【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵 （交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得） ，使得 12E，于是 ，即BAE12 12*12*12*)( AAE,可见应选(C).*三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文

19、字说明、证明过程或演算步骤.）（15） （本题满分 11 分）设函数 f(x)连续，且 ，求极限0)(f .)(lim0xdtf【分析】 此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形.【详解】 由于 ,于是000 )()()(xxxut uffdfxxx dftttf 000 )(lim)(lim= =xx xfduft0)()(li xxfuft0)()(li- 10 -= =)()(lim0xfduftxx.21)0(f（16） （本题满分 11 分）如图， 和 分别是 和 的图象，过点(0,1) 的曲线 是一单调增函数的图象. 1C2)1(xeyxy3C过 上任一点

20、M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 和 . 记 与 所围图形的面积为 ；2 xly21,xl )(1xS与 所围图形的面积为 如果总有 ，求曲线 的方程3,yl ).(2S)(21S3).(y【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积 ，再根据 建立积分等式，然,yx)(21Sx后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.【详解】 如图，有，x xtt edeS01 )1(2)1(2)(，ytt2ln由题设，得 ，yx te1)(l)(而 ，于是xydyl21两边对 y 求导得 ， )(ln)(y故所求的函数关系为： .21l)(yx（17） （本题满分 11 分）如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 与 分别是曲线 C 在点(0,0)与(3,2) 处1l2的切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 30.)(dxfx【分析】 题设图形相当于已知 f(x)在 x=0 的函数值与导数值，在 x=3 处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】 由题设图形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 2)0(f .)3(,2)(ff由分部积分，知 030 322302 )1()()()( dxfxfxfddxfx