3.3.1 拉格朗日中值定理定理3.3 (拉格朗日中值定理)(1) 在闭区间a, b上连续;(2) 在开区间(a, b)内可导;使得3.3 拉格朗日中值定理及其应用若函数 f (x) 满足:几何解释:分析: 化为罗尔定理的结论形式, 在曲线弧AB上至少有一点C, 在该点处的切线平行于弦AB.证 作辅助函数拉格朗日中值公式即或推论1 设证不妨设例1 证明当证而故例2 证明证 令故证命题得证.例3 证明当例4 设证拉格朗日中值定理,使得即例4 设另证证令罗尔定理,整理得使得故即推论2单调递增;单调递减.3.3.2 函数的单调性在(a, b)内可导.证 (1)由拉格朗日定理在a, b上在a, b上解例4 讨论函数 的单调性. 定义域为注1: 推论2对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注2: 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,函数的单调区间求法:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.的分界点则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间解 定义域为导数不存在.例5 讨论函数 的单调性. 解 定义域为例6 讨论函数 的单调性. 导数不存
