第二节 极限的基本性质 第二章 一、收敛数列的性质1. 唯一性2. 有界性 3. 保号性、保序性4. 收敛数列与其子列的关系二、函数极限的性质1. 唯一性2. 局部有界性 3. 局部保号性4. 函数极限与数列极限的关系 第二章 一、收敛数列的性质 1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)即若则必有若极限则极限唯一.( 用反证法)及 且取因 N1 N+, 使当 n N1 时, 假设即当 n N1 时, 从而 使当 n N1 时, 证法1同理, 因故 N2 N+, 使当 n N2 时, 有从而 使当 n N2 时, 有从而 使当 n N1 时, 则当 n N 时, 矛盾！故假设不真 !例1 证明数列是发散的. 证 用反证法.假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .对于 则存在 N ,使当 n N 时 , 有因此该数列发散 .于是推得矛盾！区间长度为1这与2. 有界性例如:有界无界即若使(n =1,2,).定理2.2 ( 收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界.证 设取 则 当时, 从而有取 则有即收敛数列必有界.有注 有界性是数列收敛的必要条件， 但不是充分条件. 收敛 有界
