第五章 偏微分方程本章内容椭圆型方程12抛物型方程3双曲型方程5.0 概论任何一种随空间变化或随时空变化变化的物理现象都需要用偏微分方程描述大部分物理上重要的偏微分方程是二阶的，它们可以分为因变量用它们在自变量的许多离散的格点上之值来描述， 通过适当的离散化，偏微分方程就化为一大组差分方程。双曲型方程 抛物型方程 椭圆 型方程泊松方程和定态薛定谔方程波动方程扩散方程和含时薛定谔方程5.1 椭圆型方程我们将考虑二维空间 (x， y) 内的场量 的椭圆型边值问题，方程为取固定边界条件，即在 (x， y) 平面内某一根很大的闭合曲线上（为方便起见取为单位正方形）规定了 值，边值问题就是要用方程求出单位正方形内每处的 。空间离散化首先定义一个网格，覆盖 (x， y) 平面内的单 位正方形。为方便起见，我们取格子间隔 h (步长)是均匀的，并且在两个方向上相等，使得单位正方形被 (N+1) (N+1) 个格点覆盖。这些格点 用指标 i，j 编号，其中 i， j = 0，1，2，3，.，N。对每个方向上的二阶微商应用三点差分近似，方程近似为其中 A 是出现在线性方程组中的矩阵， 表示内点上的 值（
