7.9 7.9 最小多项式 最小多项式由哈密尔顿凯莱定理， 是A 的特征多项 式，则 因此，对 任定一个矩阵 ，总可以找到一个多项式 使 多项式 以A为根.引入本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的那个与A的对角化之间的关系.此时，也称 7.9 7.9 最小多项式 最小多项式一、最小多项式的定义一、最小多项式的定义定义：设 在数域P上的以A为根的多项为A 的最小多项式.式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 7.9 7.9 最小多项式 最小多项式二、最小多项式的基本性质二、最小多项式的基本性质1.（引理引理11）矩阵A的最小多项式是唯一的.证：设 都是A的最小多项式.由带余除法， 可表成其中 或 于是有 7.9 7.9 最小多项式 最小多项式 由最小多项式的定义， 即， 同理可得， 又 都是首1多项式, 故 7.9 7.9 最小多项式 最小多项式2.（引理引理22）设 是矩阵A的最小多项式，则以A为根 证：充分性显然，只证必要性由带 余除法， 可表成 其中 或 于是有 7.9 7.9 最小多项式 最小多项式由最小多项式的定义， 由此可知：若 是A的最小多项式，则 整 除
