7.9 7.9 最小多项式 最小多项式由哈密尔顿凯莱定理, 是A 的特征多项 式,则 因此,对 任定一个矩阵 ,总可以找到一个多项式 使 多项式 以A为根.引入本节讨论,以矩阵A为根的多项式的中次数最低的那个与A的对角化之间的关系.此时,也称 7.9 7.9 最小多项式 最小多项式一、最小多项式的定义一、最小多项式的定义定义:设 在数域P上的以A为根的多项为A 的最小多项式.式中,次数最低的首项系数为1的那个多项式,称 7.9 7.9 最小多项式 最小多项式二、最小多项式的基本性质二、最小多项式的基本性质1.(引理引理11)矩阵A的最小多项式是唯一的.证:设 都是A的最小多项式.由带余除法, 可表成其中 或 于是有 7.9 7.9 最小多项式 最小多项式 由最小多项式的定义, 即, 同理可得, 又 都是首1多项式, 故 7.9 7.9 最小多项式 最小多项式2.(引理引理22)设 是矩阵A的最小多项式,则以A为根 证:充分性显然,只证必要性由带 余除法, 可表成 其中 或 于是有 7.9 7.9 最小多项式 最小多项式由最小多项式的定义, 由此可知:若 是A的最小多项式,则 整 除