第七节 方向导数与梯度一、方向导数二、梯度一、问题的提出一块长方形的金属板，受热产生如图温度分布场. 设一个小虫在板中逃生至某问该虫应沿什么方向爬行，才能最快到达凉快的地点？处，问题的实质： 应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率，从而确定出温度下降的最快方向引入两个概念：方向导数和梯度方向导数问题梯度问题 讨论函数 在一点P 沿某一方向的变化率问题二、方向导数当 沿着 趋于 时，是否存在？记为的方向导 数为同理,沿y 轴 正向的方向导 数分别为在点 沿着 轴 正向 若偏导 存在, 则方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限.原因：证明 由于函数可微，则增量可表示为方向导数的存在及计算公式那末函数在该 点沿任意方向l 的方向导 数都存在，定理 如果函数在点可微分，且有 为 轴 到方向l 的转 角其中计算公式故有方向导数两边同除以得到故x轴 到方向l 的转角解方向l 即为解 由方向导数的计算公式知（1 ）最大值; （2 ）最小值； （3 ）等于零？ 例2 求函数在点(1,1) 沿与 x轴 方向夹 角为 的方向射线的方向导 数.并问在怎样的方向上此方向导数有故
