1、安徽工程大学毕业设计（论文）引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可以追溯到Sylvester与Cayley，特别是Cayley1858年的工作。自从Cayley建立矩阵的运算以来，矩阵理论便迅速发展起来，矩阵理论已是高等代数的重要组成部分。近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻找它们的根源。另一方面，作为一种基本工具，矩阵理论在应用数学与工程技术学科，如微分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等方面有着广泛的应用。同时，这些学科的发展 来 大 矩阵理论的发展。特 与特 是矩阵理论中 具有基本理论 ， 具有重要应用 的知 ，与矩阵理论的 它知 有着 的
2、 系。可以 ，特 与特 是矩阵理论的基本 。 ， 这方面的知 的高科技来 是currency1的“重要的。矩阵是高等代数程的一基本概fi是fl 高等代数的基本工具。 等，是以矩阵作为，” 的理论。矩阵的特 特 ，是高等数学中到的 。一 的代数中，是 计算特 ， 特 ， 方程组 到 应的特。特 特 根在 矩阵理论 系中具有 重的作用， 在 中的应用 广泛。特 一 来自 的eigen，” 特在1904年 在这 用（ 在 的时 在 用 这一概fi）。eigen一可 为 自 的， 特 .的， 有特 的 的，这 特 特 的 上是 重要的。矩阵特 是高等代数fl 的中 一， 是 fl 招 考试的热点.而
3、在自科学（如物理学、控制论、弹力学、图论等）工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵 策）的fl 中 同样离不开矩阵特 , 而 fl 具有重要的理论应用 。随着计算机的迅速发展， 代社会的 步科技的突飞猛 ，高等代数作为一门基础的工具学科已 一 领域渗透，它的作用越来越为世所重视。在 数高等代数中，特 与特 描述为中 的特 与特 ；而在大部分代数中,特 与特 的讨论被作为矩阵理论fl 的一重要组成。矩阵的特 应用 中的，为 各 决，创建有效的数学模型提供 有效的工具，为决 提供有效的方法。矩阵的特 与特 是数学与 它科学fl 的基础工具。学习fl 数学， 系 际， 数学的工具来决 上 。离开数学别
4、的科学fl 是寸步难行的，所以我们currency1须重视数学，深入fl 矩阵特 与特 ，从而 所有科学的发展。- 1 -王家琪: 矩阵的特 与特 的理论与应用第1章 绪论1.1研究背景及意义矩阵是数学中重要的一基本概fi 一，是代数中的一主要fl 象， 是数学fl 应用的一 重要的工具。矩阵特 与特 是矩阵理论中的重要组成部分，它在高等代数与 他科技领域中占有“重要的位置。同时它 贯穿 高等代数中的方方面面， 该 的fl 加深 我们 高等代数中各部分的认 ，从而我们能 深刻的 高等代数中的相关理论。 矩阵特 与特 理论fl 及 应用探 ，不仅仅提高高等代数以及相关程的理有 大的帮助，而 在理
5、论上 “重要，可以直接用它来决 际 . 在矩阵已成为独立的一数学分支，矩阵的特 与特 的应用是 在 方面的，不仅仅在数学领域里，而 在力学、物理、科技方面有十分广泛的应用。1.2研究现状在 前已有 专家学涉 领域fl 该 。汤正华在2008年发表的关 矩阵的特 与特 的探讨讨论 矩阵的特 与特 的 、；特 与特 的法等 。李延敏在关 矩阵的特 与特 同步 中 矩阵 行行列互，同步矩阵特 与特 ，决 不少带参数特 ， 给一些 理。邵丽丽在2006年矩阵的特 特 的应用fl 中 n阶矩阵的特 与特 的fl，针 n阶矩阵的特 与特 的应用 行 3方面的探讨， 给 相关命 的证明及相应的例 。 以华在
6、矩阵的特 与特 的fl 矩阵特 与特 相关 行系统的归纳， 矩阵 行行列互逆就可同时特 与特 的结论，同时讨论 。汪庆丽在用矩阵的初等 矩阵的特 与特 中fl 一种只 矩阵作适当的初等行 就能到矩阵的特 与特 的方法，论证 方法的合理， 述 方法的具 步 。 华、 明在特 与特 在矩阵运算中的作用中从方阵的特 与特 的发，结合具 的例 述 特 与特 在 化矩阵运算中所起的作用。王 在 关系中特 与特 的应用中 一种方法， 方法可以 用特 与特 关系中的 。 在特 法 型的 最 中根 a ra e 数法 最 的 理，针 特 的 型 最 ，分析最 与特 的 应关系，给 型 最 的特 方法， 结合例
7、 明特 方法的 便及有效，具有一 的应用 。近年来， 矩阵特 与特 的fl 已 深入，本 矩阵特 与特 的相关 行系统的归纳。 矩阵的特 与特 的基本 行 ，根 矩阵特 与特 的应用 行 深一步的探讨。- 2 -安徽工程大学毕业设计（论文）1.3研究内容及方法在前的fl 基础上，本文给 特 与特 的概fi与，特 特 是最基本的 ，特 与特 的讨论这一工具的用 加的便 ，决 的作用 有力，它的应用 就 加广泛。在这基础上矩阵特 与特 的计算 行 的 述 明。 用特 方程来特而特 法、列行互逆 法以及矩阵的初等 特 与特 。” 矩阵特 与特 的应用是 方面的，本文重点 特 与特应用的探 , 述 特
8、 与特 在矩阵运算中的作用， 用特 法 型最 的 的应用，以及特 与特 在 他方面的应用。在例 析中运用 一些特 与特 的与方法，可以加 ，在运算上 方便，是 化有关 的一种有效的。本文就是 大 的例 来 明运用特 特 的可以 currency1，从而高等代数中大 习 “而， 特 特 在决 际 中的优越表 来。 第2章 特 与特 的概fi2.1特征值与特征向量的定义和性质.1.1 的特 与特 定义1fi设s是数域F上V的一 ，如fl 数域R中一数 0l ， 在一“ x， x xs l=l为s的一特 ，而x为s的 特 l的一特 .2.1.2 n阶方阵的特 与特 定义 2fi设R是n阶方阵， 在数
9、 0l n ( 0)X X ， 0RX Xl= 成立， 0l 为R的特 ，X是 应 特 0l 的R的特 .1 tl是R的 tr重特 ，R 应 特 tl有 ts关的特 ， t ts r . 1 2,x x 是矩阵R的 特 0l 的特 ,当 1 2,k k 不”为时, 1 1 2 2kx k x+ 是 应 特 0l 的R的特 1 2, , , kl l lK 是矩阵R中互不相同的特 ， 应特 分别为 1 2, , , kx x xK ， 1 2, , , kx x xK 是关的- 3 -王家琪: 矩阵的特 与特 的理论与应用 ( )ij t tR r= 的特 为 1 2, , , tl l lK
10、，1 2 11 22t ttr r rl l l+ + + = + + +K K ， 1 2 t Rll l =K 5 矩阵R的特 是 数， 不同的特 的特 正2.2 ( ),V p n 中线性变换s的特征值、特征向量与矩阵R的特征值、特征向量之间的关系定理:设 1 2, , , ne e eK 是 ( ),V p n 的一组基 ( )L Vs , ( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,n n Rs e e e e e e=K K1） s的特 0l currency1是 R的特 ， s的 0l 的特 1 1 2 2 n nx x xx e e e= + + +K ，( )1 2,
11、, , nx x xK currency1是R的 特 0l 的特 .）设 0l 是R的一特 ， 0l 蜶 ， 0l 是s的一特 .( )1 2, , , nx x xK 是 R的一 特 0l 的一特 ，1 1 2 2 n nx x xx e e e= + + +K 是 的一 0l 的特 .证明fi1）设 0l 是s的特 ， 是有x 0 0sx lx= ， 中 0l 蜶 ，设1 1 2 2 n nx x xx e e e= + + +K ，( )121 1 2 2 1 2, , ,n n nnxxx x x Rxsx se se se e e e骣琪琪= + + +琪琪桫= K K M ，0sx
12、 lx= ，所以有( ) ( )1 12 21 2 1 2 0, , , , , ,n nn nx xx xRx xe e e e e e l琪 琪琪 琪琪 琪琪 琪 =K KM M ，”他们的列相等可 ( )120000nxxE Rxl骣 骣琪 琪琪 琪- =琪 琪琪 琪桫桫M M ，- 4 -安徽工程大学毕业设计（论文）所以 方程组( )0 0E R Xl - = 有“， 是 0 0E Rl - = ， 0l 是R的特 的根， 0l 是R的特 ，从而x的是R的 0l 的特 .2）设 0l 是R的一特 ， 0l 蜶 ， 0 0E Rl - = ， 是( )0 0E R Xl - =有“， (
13、 )1 20 , , , nnx x x R刮 K ， n nx x x Vx e e e+ + + K1 1 2 20 ，( )120000nxxE Rxl骣 骣琪 琪琪 琪- =琪 琪琪 琪桫桫M M ，1 12 20=n nx xx xRx xl琪 琪琪 琪琪 琪琪 琪 M M， 是 0sx lx= ， 0l 是s的一特 ，x是s的 0l 的特 .2.3求数字方阵的特征值与特征向量”方阵的特 特 的 知a 0是A的 l的特 为Aa al= 所以a是 方程组( ) 0E A xl - = 的“，所以l是特 方程( ) 0Af E Al l - = 的根。 上述 程逆 到数方阵A的特 特 的
14、步 如1 计算的特 ( )Af E Al l - ； 特 方程 0E Al - = ,它的”部根 1 2, , , nl l lK ,它们就是A的”部特。 一特 ( )1i i nl , 方程组( ) 0iE A xl - = 的一基础系,这基础系 1 2, , ,i i ira a aK 便是A的 ( )1i i nl 的关的特 , A的 il的”部特 是这系的“组合1 1 2 2i i n irka k a k a+ + +K , 中 1 2, , , nk k kK 是不”为的数.例3.1.1 设 s在 1 2 3, ,e e e 的矩阵是R骣琪=琪琪桫1 2 22 1 22 2 1，
15、的特 与特 .fi 为特 为- 5 -王家琪: 矩阵的特 与特 的理论与应用( ) ( )E Rll l l ll- - - = - - - = + - - -21 2 22 1 2 1 52 2 1.所以特 -1（ 重）5.特 -1代入 方程组( )( )( ),x x xx x xx x xlll- - - =- + - - =- - + - =1 2 31 2 31 2 31 2 2 02 1 2 02 2 1 0到,x x xx x xx x x- - - =- - - - =-1 2 31 2 31 2 32 2 2 02 2 2 02 2 2 0它的基础系是骣琪琪琪-桫101，骣琪
16、琪琪-桫011.-1的关的特 就是1 1 3x e e= - ，2 2 3x e e= - .而 -1的”部特 就是 1 1 2 2k kx x+ ， 1k， 2k 数域R中不”为的”部数 . 用特 5代入， 到,x x xx x xx x x- - =- + - =- - + =1 2 31 2 31 2 34 2 2 02 4 2 02 2 4 0它的基础系是骣琪琪琪桫111， 5的一关的特 就是3 1 2 3x e e e= + + ，而 5的”部特 就是 3kx ，k是数域R中 不等 的数.- 6 -安徽工程大学毕业设计（论文）2.4行列互逆变换法解特征值与特征向量为 理的 述方便，
17、给一 .定义1.矩阵的列 种 为列行互逆 :1 . 互i、j列( )i jc c ,同时互j、i行( )j ir r ；2 . 第i行 以“数k，同时第j列 k1；3 . 第 i行k 加到第 j行，同时第 j列 k- 加到第 i列 .定理1 A为n阶可 化矩阵， ( )T nA E 一系列行列互逆 ( )TD P中( )( ), , , , ,T i i inn nP b b i nl bbl b琪 琪= = =琪 琪琪 琪 O M K K1 11 12 ， 1 2, , nl l lL 为A的”部特 ， Ti ia b= 为A的 应 il的特 .证明fi”行初等 等 初等矩阵，列 等 初等矩
18、阵的及行列互逆 的 知， TP 为 初等矩阵的 ，当可逆， ( ) 1T T TP A P D- = ， 1P AP D- = ，所以AP PD= .为( )11, nnD Pla al骣琪= =琪琪桫O L ，所以( ) ( )11 1n nnAla a a al骣琪=琪琪桫L L O ，( ) ( )1 1 1n n nA Aa a la la=L L ，所以( )0 , 1,2, , .i i i iA i na la a= L，该方法的 il为A的特 ， ia 为A的 应特 il的特 为 运算上的方便，这里 fi - 7 -王家琪: 矩阵的特 与特 的理论与应用1. i jr kr+
19、表 矩阵的第j行k 加入第i行； 2. i jr kr- 表 矩阵的第j列的 k- 加入第 i 列 ” 用 理1时， 会 到 如 aA c b骣=琪桫1 0 ( )a cA a bb骣=琪桫2 0 的矩阵化 阵 ，为 给具 方法fi( )T a cA E b骣=琪桫1 2 1 00 0 1 1 22 1r krr kr+- a kb骣琪桫0 10 0 1( )T aA E c b骣=琪桫2 2 0 1 00 1 2 11 2r krr kr-+ ab k骣琪 -桫0 1 00 1 ，中 ck a b= - . ( ) ( ), , ,T Tka a= =1 21 01 为 1A的分别 应特 a
20、b的特 ；( ) ( ), , ,T Tkb b= = -1 210 1 为 2A的分别 应特 ab的特 .例3.2.1A 骣=琪桫1 65 2 的特 与特 .fi( )TA E 骣=琪桫2 1 5 1 06 2 0 1 1 22 1r rr r+- 骣琪 -桫7 0 1 16 4 0 1 2 11 26 116 11r rr r-+ 骣琪琪 - - -桫7 0 1 16 50 411 112211111rr 骣琪 - -桫7 0 1 10 4 6 5所以，特 ,l l= =-1 27 4；特 分别为 ( ) ( ), , ,T Ta a= = -1 211 65 .例3.2.2A-骣琪 -琪
21、=琪 -琪-桫0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0的特 与特 .fi- 8 -安徽工程大学毕业设计（论文）( )TA E-骣琪 -琪=琪 -琪-桫40 1 1 1 1 0 0 01 0 1 1 0 1 0 01 1 0 1 0 0 1 01 1 1 0 0 0 0 12 14 31 23 4r rr rr rr r-+-骣琪 - -琪琪 -琪 - -桫1 1 0 1 1 0 0 00 1 0 2 1 1 0 00 1 1 1 0 0 1 00 2 0 1 0 0 1 12 44 2r rr r-+ 骣琪 - - -琪琪 -琪 -桫1 1 0 0 1 0 0 00 3 0 0
22、 1 1 1 10 1 1 0 0 0 1 00 2 0 1 0 0 1 12 12 32 41 41 41 2r rr rr r-+- 骣琪 - - -琪琪 -琪 -桫1 34 0 0 1 0 0 00 3 0 0 1 1 1 10 34 1 0 0 0 1 00 32 0 1 0 0 1 11 23 24 21 41 41 2r rr rr r+-+ -骣琪 - - -琪琪 -琪 - -桫1 0 0 0 34 14 14 140 3 0 0 1 1 1 10 0 1 0 14 14 34 140 0 0 1 12 12 12 12-骣琪 -琪揪琪 - -琪 - -桫1 0 0 0 3 1
23、1 10 1 0 0 1 1 3 10 0 1 0 1 1 1 10 0 0 1 1 1 1 1.所以，特 分别为 ,l l l l= = = =-1 2 3 41 3；特 分别为( ), , , Ta = -1 311 1 ， ( ), , , Ta = -2 1 131 ， ( ), , , Ta = - -3 11 11 ， ( ), , , Ta = - -4 111 1 .面给 理1的 广 理.定理2. A为 n阶方阵，( )T nA E 一系列行列互逆 ( )TJ P ，中 ( )1rJJ r nJ骣琪=琪琪桫O 为 当矩阵， ( ), ,iiiJ i rll骣琪琪= =琪琪桫O
24、O LO111 为 - 9 -王家琪: 矩阵的特 与特 的理论与应用当 . 1TrPPP骣琪=琪琪桫M ， ( ), , ;riri nirP i n r r r nbb骣琪= = + + + =琪琪桫M L L11 21 ， il为A的特 ； iTi ira b= 为A的 应特 il的特 .证明fi”一 代数中 理可知Acurrency1相 一 当矩阵， 理2中化 方法，有( ) 1T T TP A P J- = ， 1 ,T TP AP J AP PJ- = = ， 中 ( )11 1 1T Tr rP b a b a= L L L ，( ), , ,iTT TiTriJJ J i rJl
25、l骣骣琪琪琪= = =琪琪琪琪桫 桫OO LO O1 111所以( ) ( ) 111 1 1 11 1 1TT T T Tr r r rTrJAJb a b a b a b a骣琪=琪琪桫L L L L L L O ，有( )1, ,i i iA i na la= = L ，所以 il为A的特 ； ia 为A的 应 il的特 .例3.2.3 A-骣琪= -琪琪桫2 1 10 3 12 1 3的特 与特 .fi( )TA E骣琪= -琪琪-桫32 0 2 1 0 01 3 1 0 1 01 1 3 0 0 11 33 1r rr r-+ -骣琪-琪琪-桫1 1 0 1 0 11 3 0 0 1 01 1 4 0 0 12 11 2r rr r-+ -骣琪 -琪琪-桫2 1 0 1 0 10 2 0 1 1 10 1 4 0 0 1- 10 -
