1、1/30第 6 章 连续系统的最优控制6.1 最优化问题6.2 最优控制的变分法求解6.3 线性系统二次型性能指标的最优控制1、线性系统 有限时间最优状态调节系统二次型性能指标 设受控系统对平衡点的增量方程为，()()()xtAxtBut 0xt简记为，()()()ttt 0最优状态调节是指：对上述系统，在时间区间 ，寻0,ft2/30求最优状态反馈控制，使初始状态偏差 迅速衰减，且0()xt同时使二次型性能泛函 011()()()d22ftt tff xutJxQQt*minfxuJ式中 终端加权矩阵。()0fn状态加权矩阵。x控制加权矩阵。()urQ三个加权矩阵均为对称矩阵，为简单，一般取
2、 为对角矩阵。 表示对终端状态偏差即稳态控制精度1()2tfffJxt3/30的限制。当 ，1diagfffnQq 21()nffifiJqxt 表示对控制过程中状态偏差衰减速0()2ftxxtJt度的要求。当 ，1diagxxxnq 021()dftnxiitJqt 表示对控制过程中所消耗的能量的01()2ftuutJQt限制，以避免状态偏差过 快衰减导致控制量超过允许数值。当， ， 可理解为功率。1diaguuurQq 021()dftruiitJqt2()i实际上，在性能指标中， 已经对控制的稳态精度有所要x求。当对稳态 精度有更高的要求时，才增加 项 。fJ由上可知，上述二次型性能指标
3、的物理意义是，在整个时4/30间区间 ，特 别是终值时刻 上状态变量尽量接近于0,ftft0 而又不消耗过大的控制能量。 有限时的最优状态控制ft最优状态调节器问题是始端固定、终端自由的泛函极值问题，即 给定 ， ， 给定， 自由的泛函极 值问题。0t0)xt（ ft)ftx（黎卡提（Riccati）矩阵微分方程（一阶非线性矩阵 微分方程）： 1()()()()()t tuxPtAPtBQP 0其终值条件为 ()fft可以证明，当矩 阵 的各元素在 上,(),uxt 0,ft都是 t 的连续函数时，黎卡提方程在 上满足终值条件的解0f5/30存在且唯一。当 解出后，便有最优控制为()Pt*1(
4、)()tuuKtxQBPxt式中， 为时变状态反馈矩阵。1()()tKtQB最优性能指标为 *00()()2tJxt闭环系统结构如图： 0v()Bt ()At()Ctyxux优 优 优 优优 优 优 优优 优 1()()()()tuKtQtBPt()Kt6/30 的特征()Pt* 的时变性：即使 都是定常矩阵，此时黎卡提方程为定常系,uxABQ数矩阵微分方程， 也是 时变的。()t* 的对称性()Pt是对称矩阵，共含有 个不同的元素。(1)/2n* 的非负定性()t0,ft由于 均为非负定矩阵，所以对任意的 和相应fuxQ()ut的 ，总有 ， ，因 是任意的，可知()xtJ*1()02tPx
5、txt。0P*当 ， 为常数矩阵ft()t7/30在这种情况下，在动态过程的大多数时间内， 为常数()Pt矩阵，从而最 优控制的时变 状态反馈简化为定常状态反馈。说明后列。例：系统状态方程为，xu0()x求最优控制，使 1022()()dminfJtt解： ， ， ， ， ， ，1ABfQxu01ft矩阵黎卡提微分方程为，2()()10Pttt ()f fPtQ对 ， ，解得1f0f8/302(10)2(10)(2)1() ttePt 最优控制为 *1()()()tutQBPxttx数值计算表明：， ，(0)1(6)0.4P (7)0.41(8)0.4157P， ，9.439.532fQ和 时
6、的 曲线如图所示。fQf()Pt9/30()pt0()pt优 优 )fttftt1.0.41 0fQ1f52、 时 的线性定常系统最优状态调节器ft有限时的最优状态调节器，由于 是时变的。若 ，f ()Ptft将趋于常数矩阵，最优状态反馈矩阵也将随之转化为常数()Pt矩阵。无限时间（ ）状态调节器问题ft若线性定常系统，xABu0()xt10/30能控， 不受限制 ，二次型性能泛函为u01d2ttxuJQ式中 状态加权对称常矩阵；()xnQ控制加权对称常矩阵。ur当 或 但 能观（其中 ），则最优状态反0xx,AHtx馈控制存在且唯一： *1()()tuutKxtQBP式中 为最优定常状态反馈矩阵1()nKQBP是满足满足下列黎卡提矩阵代数方程的正定对称常数矩阵： 1ttuxABPQ0
