4 泰勒公式与极值问题 三、极值问题 一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式1一、高阶偏导数 如果它们 关于 x 与 y 的偏导 数也 导数有如下四种形式: 存在, 说明 具有二阶偏导数二元函数的二阶偏2类 似地可以定义 更高阶 的偏导 数, 例如 的三阶偏导数共有八种情形: 3解 由于 例1 4因此有5数为 例2 6注意 在上面两个例子中都有 7数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数它的一阶偏导数为 数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导8的混合偏导数: 9由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此 式. 由于 10因此有11类似地有 这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2) 相等的一个充分条件 连续，则 12证 令 于是有 (4)(3)13由 (4) 则有 (5)如果令14则有 用前面相同的方法, 又可得到 (6)15在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式 合偏导数都与求导顺序无关 注2 这 个定理对 n 元函数的混合偏导 数也成立. 例 由定理假设 都在点 连 续,
