1、圆的相关证明与计算附答案（2019 中考数学专题强化训练）第二部分 专题三类型 1 与圆有关的角平分线问题1(2018衡阳) 如图，O 是ABC 的外接圆，AB 为直径，BAC 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 DEAC 分别交AC， AB 的延长线于点 E，F.(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若 AC 4，CE2，求 BD 的长度(结果保留 )(1)证明：如答图，连接 OD，答图OAOD，OADODAAD 平分EAF，DAE DAO，DAE ADO，ODAE.AEEF，OD EF，EF 是O 的切线(2)解：如答图，作 OGAE 于点 G，则 AGCG12AC2，OGE EODE9
2、0，四边形 ODEG 是矩形，OAODGE CGCE 224 ，DOG90，在 RtAOG 中，OA2AG，AOG30，BOD60，则 BD 的长度为 60418043.2(2018赤峰) 如图，在 RtABC 中， C90，AD 平分BAC ，交 BC 于点 D，点 O 在 AB 上，O 经过 A，D两点，交 AC 于点 E，交 AB 于点 F.(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若O 的半径是 2 cm，E 是 AD 的中点，求阴影部分的面积(结果保留 和根号)(1)证明：如答图，连接 OD，答图OAOD，OADODAAD 平分BAC，OADDAC，ODADAC，ODAC，ODBC90，
3、ODBC，BC 是O 的切线(2)解：连接 OE，OE 交 AD 于 K，AE DE ，OE AD OAKEAK，AK AK，AKO AKE 90，AKOAKE(ASA)，AO AEOE，AOE 是等边三角形，AOE 60，S 阴影S 扇形 OAESAOE60 223603422233.3(2018咸宁) 如图，以ABC 的边 AC 为直径的O 恰为ABC 的外接圆，ABC 的平分线交 O 于点 D，过点 D作 DEAC 交 BC 的延长线于点 E.(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若 AB 25，BC5，求 DE 的长(1)证明：如答图，连接 OD，AC 是 O 的直径，ABC90.答图
4、BD 平分 ABC，ABD45，AOD90.DEAC，ODE AOD90，DE 是O 的切线(2)解：在 RtABC 中，AB 25，BC5，AC AB2BC25，OD52.DEAC，CEGACB ，tanCEGtan ACB ，CGGEABBC，即 2.5GE255，解得 GE54，DEDGGE154.4(2018莱芜) 如图，已知 A，B 是O 上两点，OAB 外角的平分线交O 于另一点 C，CD AB 交 AB 的延长线于D(1)求证：CD 是O 的切线；(2)E 为 AB 的中点，F 为O 上一点，EF 交 AB 于 G，若 tanAFE34，BEBG，EG310，求O 的半径(1)证
5、明：连接 OC，如答图，答图BC 平分OBD，OBCCBDOB OC，OBCOCB，OCB CBD，OC AD ，而 CDAB，OCCD，CD 是 O 的切线(2)解：连接 OE 交 AB 于 H，如答图，E 为 AB 的中点，OEAB ABEAFE，tanABEtan AFE34，在 Rt BEH 中，tanHBEEHBH34，设 EH3x，BH4x，BE5x.BG BE5x，GH x，在 RtEHG 中，x2(3x)2(310)2 ，解得 x3，EH9，BH12，设O 的半径为 r，则 OHr9，在 RtOHB 中，(r9)2122r2，解得 r252，即O 的半径为 252.类型 2 与
6、圆有关的双切线问题1(2018北京) 如图，AB 是O 的直径，过O 外一点 P作O 的两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D，连接OP，CD(1)求证：OP CD；(2)连接 AD，BC，若 DAB 50，CBA 70，OA2，求 OP 的长(1)证明：如答图，设 PO 与 DC 交于点 Q，PC，PD 与O 相切于 C，D，PCPD ，OP 平分CPD，在等腰PCD 中，PCPD ，PQ 平分CPD，PQCD 于 Q，即 OPCD (2)解：如答图，连接 OC，OD ，答图OAOD，OADODA50，AOD180OADODA80.同理：BOC 40 ，COD180AODBOC 60，在等
7、腰COD 中，OC OD ，OQCD，DOQ12COD30.PD 与O 相切于 D，ODDP，ODP 90，在 RtODP 中，ODP90，POD30，OPODcosPODOAcos30232433.2(2018黔西南) 如图，CE 是O 的直径，BC 切O 于点C，连接 OB，作 EDOB 交O 于点 D，BD 的延长线与CE 的延长线交于点 A(1)求证：AB 是O 的切线；(2)若O 的半径为 1，tanDEO 2，tanA 14，求 AE的长(1)证明：连接 OD，如答图，答图EDOB，14，23，ODOE，34，12.在DOB 与COB 中，ODOC，12，OBOB，DOBCOB(S
8、AS)，ODBOCBBC 切O 于点 C，OCB90，ODB90，AB 是O 的切线(2)解：DEO2.tanDEOtan 22.O 的半径为 1，OC1，BC 2.tanA BCAC14，AC4BC 42，AEACCE422.3(2018武汉) 如图，PA 是O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接 PB，PC，PC 交 AB 于点 E，且PAPB(1)求证：PB 是O 的切线；(2)若APC3BPC，求 PECE 的值(1)证明：如答图，连接 OP，OB答图PA 是O 的切线，PAOA，PAO 90.在PAO 和PBO 中，PAPB，POPO，OA OB ，PAO PBO(S
9、SS)PAO PBO90，PBOB，PB 是O 的切线(2)解：设 OP 交 AB 于 K.AC 是 O 的直径，ABC 90， ABBCPA，PB 都是O 的切线，PAPB ，APOBPO.OAOB，OP 垂直平分线段 AB，OKBCAOOC，AK BK ，BC2OK，设 OKa，则 BC2a.APC3BPC，APOOPB，OPCBPC PCB ，BCPBPA 2a.PAK POA，PA2 PKPO，设 PKx，则有 x2ax4a2 0，解得 x1712a(负根舍去)，PK1712a.PKBC，PEECPKBC1714.4(2018襄阳) 如图，AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两
10、条切线，E 为O 上一点，过点 E 作直线 DC 分别交 AM，BN 于点 D，C，且 CBCE.(1)求证：DADE；(2)若 AB 6，CD43，求图中阴影部分的面积(1)证明：如答图，连接 OE，OC，BE.OB OE，OBEOEBBCEC，CBECEB ，OBC OEC BC 为O 的切线，OECOBC90.OE 为O 的半径，CD 为O 的切线AD 切O 于点 A，DA DE.(2)解：如答图，过点 D 作 DFBC 于点 F，则四边形ABFD 是矩形，答图ADBF，DFAB 6，DC BCAD43.FCDC2DF223，BCADBF FCADAD FCAD 2AD2343，AD3，BCBFFCADFC32333，在 RtOBC 中，tanBOC BCBO3333，BOC 60，在OEC 和OBC 中，OEOB，OCOC ，CE CB ，OECOBC(SSS)，BOE2BOC120，S 阴影S 四边形 BCEOS 扇形OBE212BCOB120OB2360933.5(2018x 疆) 如图，PA 与O 相切于点 A，过点 A 作AB OP，垂足为 C，交O 于点 B连接 PB，AO，并延长 AO 交O 于点 D，与 PB 的延长线交于点 E.(1)求证：PB 是O 的切线；(2)若 OC 3，AC4，求 sinE 的值(1)证明：如答图，连接 OB答图
