1、联系 QQ1165557537一元函数，可导肯定连续，连续不一定可导。可导，左右导数相等。四、微分及其应用（一）微分概念 1 微分的定义设函数 y = f （ x ）在某区间 I 内有定义，x 0I，x 0+x I。若函数的增量其中 A 是不依赖x 的常数，则称 y = f （ x ）在点 x0可微分，Ax 叫做 y = f （ x ）在点 x0相应于自变量增量x 的微分，记作 dy ，即dy=Ax函数 y = f（x）在点 x 的微分称为函数 y = f （x）的微分，记作 dy 或 df （ x） 。2 函数可微分的充分必要条件函数 y = f（x）在点 x0 可微分的充分必要条件是 f
2、（ x ）在点 x0可导，且当 f （ x ） 在点 x0可导时，其微分一定是函数的微分是通常把 称为自变量的微分，记作 dx ，即x于是函数的微分可写成而导数可写成即导数等于函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商。（二）基本微分公式与微分法则1 基本微分公式2 函数和、差、积、商的微分法则设函数 u = u （ x ） 、v v （ x ）均可微，则3 复合函数的微分法则设 、 均可微，则 也可微，且()yfu()x()yfx（三）微分的应用（四）例题 【 例 1-2 -29 】解【 例 1-2-30 】解五、中值定理与导数的应用（一）罗尔中值定理 1 若函数 f （ x ）在闭区间
3、a ，b上连续，在开区间（ a , b ）内可导，且 f （ a ） = f （ b ） ，则至少有一点 （ a， b ） ，使得 f （） 0。2 拉格朗日中值定理若函数 f （ x ）在闭区间 a ，b上连续，在开区间（ a , b ）内可导，则至少有一 点 （ a， b ） ，使得下式成立（二）求未定式的值的方法 ： 罗必塔法则1 未定式 与 的情形0关于 的情形：设（ 1 ）当 x a （或 x）时， f （x）0 且 F （ x ） 0 ,（ 2 ） 在点 a 的某去心邻域内（或当X N 时） , f （ x ）及 F （ x ）都存在且 F （x） 0 ,则 若 仍属 型 ，且 f
4、 （ x ） 、 F （x）满足上述三个条件，则可继续运用罗必塔法则，0即对于 型，也有相应的罗必塔法则，这里不再赘述。2 其他形式的未定式的情形其他尚有 0 、 - 、 00 、 1 、 0 型的未定式，它们均可通过变形化成 或 的情形。如 00 型可变形成 或 ， - 型通过通分，0 0、 1 、 0通过取对数变形。1（三）函数性态的判别 1 函数单调性的判定利用一阶导数的符号判定，如表 1-2-1 所示。2 函数极值的判定利用一阶导数判定，如表 1-2-2 所示。一阶导数为零的点称为驻点，对于连续函数，极值点必定是驻点，驻点不一定是极值点。利用二阶导数判定，如表 1-2-3 所示。3 曲线凹、凸及其拐点的判定利用二阶导数的符号判定曲线的凹、凸，如表 1-2- 4 所示。连续曲线 y = f （ x ）上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。如果 f “ （x 0）=0,而 f “ （ x ）在 x0的左右两侧邻近异号，则点（x 0， f （ x o ） ）就是一个拐点。4 曲线的渐近线若 =y0，则曲线 y = f （ x ）有水平渐近线 y = y 0 ; lim()xf若 = ,则曲线 y f （ x ） 有铅直渐近线 x = x 0；0
