1、联系 QQ1165557537平面曲线积分的计算法 1 第一类曲线积分的计算法设 f ( x ,y)在曲线弧 L 上连续,L 的参数方程为在a,上具有一阶连续导数,且如果曲线 L 由方程 y =y (x) ( a x b )给出,则有如果曲线由方程 =()()给出,则有2 第二类曲线积分的计算法设函数 P(x, y ) , Q ( x ,y)在有向曲线弧 L 上连续 , L 的参数方程为 .当 t 单调地由()xya 变到 时,点 M 从起点 A 沿 L 运动到终点 B , 在 a ,或 ,上具有一阶连()t续导数,如果有向曲线 L 由方程 y = y (x )给出(x: a b ) ,则有格
2、林公式定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数 P( x ,y)及 Q ( x ,y)在 D 上具有一阶连续偏导数,则有其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。上述公式称格林公式。这一公式揭示了闭区域 D 上的二重积分与沿闭区域 D 的正向边界曲线 L 上的曲线积分之间的联系,利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。 (四)例题【 例 1- 3 - 22 】 计算半径为 R 、中心角为 2a 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I (线密度 1 ) 。【解】 取圆弧的圆心为原点,对称轴为 x 轴,并使圆弧位于 y 轴的右侧(图 1 一 36 ) ,则L 的参数方程为于是例题 2
3、计算 y2dx,其中 L 是半径为 a 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周(图 1 -3-7 ) 。L【 解】 L 是参数方程为当参数 从 0 变到 的曲线弧。因此积分的应用(一)定积分的应用1 几何应用 ( 1 )平面图形的面积 1 )直角坐标情形设平面图形由曲线 y = f ( x ) 、y = g ( x ) (f( x ) g ( x ) )和直线 x = a 、 x = b所围成(图 1-3 - 8 ) ,则其面积2 )极坐标情形设平面图形由曲线 ( )及射线 a、 所围成(图 1-3-9 ) ,则其面积( 2 )体积l )旋转体的体积设旋转体由曲线 y = f ( x )与直
4、线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成(图 1-3 -10 ) ,则其体积( 3 )平面曲线的弧长l )直角坐标情形设曲线的方程为 y = f ( x ) ( a x b ) , f ( x )在 a ,b上具有一阶连续导数,则其弧长2 )参数方程情形设曲线的参数方程为 x ( t ) , y ( t ) (a t ), ( t ) 、 ( t )在 a, 上具有连续导数,则其弧长3 )极坐标情形设曲线的极坐标方程为 ( ) ( a ) , ( )在 a , 上具有连续导数,则其弧长 s = 22d( 2 )水压力设有平面薄板,铅直放置水中,取薄板所在平面与水平面的交线为 y 轴,x 轴铅直向下(图 1-3 -12 ) ,设薄板的形状为则薄板一侧所受的水压力为其中 为水的密度, g 为重力加速度。(二)二重积分的应用1 曲面的面积设曲面 的方程为 z = f ( x ,y), 在 x Oy 面上的投影区域为 D , f (x,y)在 D 上具有一阶连续偏导数,则曲面 的面积