1、联系 QQ1165557537平面曲线积分的计算法 1 第一类曲线积分的计算法设 f ( x ，y)在曲线弧 L 上连续，L 的参数方程为在a，上具有一阶连续导数，且如果曲线 L 由方程 y =y (x) ( a x b ）给出，则有如果曲线由方程 =()（）给出，则有2 第二类曲线积分的计算法设函数 P（x， y ) , Q ( x ，y)在有向曲线弧 L 上连续 , L 的参数方程为 .当 t 单调地由()xya 变到 时，点 M 从起点 A 沿 L 运动到终点 B ， 在 a ，或 ,上具有一阶连()t续导数，如果有向曲线 L 由方程 y = y (x ）给出（x： a b ) ，则有格
2、林公式定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P（ x ，y）及 Q （ x ，y)在 D 上具有一阶连续偏导数，则有其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。上述公式称格林公式。这一公式揭示了闭区域 D 上的二重积分与沿闭区域 D 的正向边界曲线 L 上的曲线积分之间的联系，利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。 （四）例题【 例 1- 3 - 22 】 计算半径为 R 、中心角为 2a 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I （线密度 1 ） 。【解】 取圆弧的圆心为原点，对称轴为 x 轴，并使圆弧位于 y 轴的右侧（图 1 一 36 ) ，则L 的参数方程为于是例题 2
3、计算 y2dx，其中 L 是半径为 a 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周（图 1 -3-7 ） 。L【 解】 L 是参数方程为当参数 从 0 变到 的曲线弧。因此积分的应用（一）定积分的应用1 几何应用 （ 1 ）平面图形的面积 1 ）直角坐标情形设平面图形由曲线 y = f （ x ） 、y = g （ x ) （f（ x ) g （ x ) ）和直线 x = a 、 x = b所围成（图 1-3 - 8 ) ，则其面积2 ）极坐标情形设平面图形由曲线 （ )及射线 a、 所围成（图 1-3-9 ) ，则其面积（ 2 ）体积l ）旋转体的体积设旋转体由曲线 y = f （ x ）与直
4、线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成（图 1-3 -10 ) ，则其体积（ 3 ）平面曲线的弧长l ）直角坐标情形设曲线的方程为 y = f （ x ) （ a x b ) , f （ x ）在 a ，b上具有一阶连续导数，则其弧长2 ）参数方程情形设曲线的参数方程为 x （ t ) , y （ t ) （a t ）, （ t ） 、 （ t ）在 a, 上具有连续导数，则其弧长3 ）极坐标情形设曲线的极坐标方程为 （ ） （ a ） ， （ ）在 a ， 上具有连续导数，则其弧长 s = 22d（ 2 ）水压力设有平面薄板，铅直放置水中，取薄板所在平面与水平面的交线为 y 轴，x 轴铅直向下（图 1-3 -12 ) ，设薄板的形状为则薄板一侧所受的水压力为其中 为水的密度， g 为重力加速度。（二）二重积分的应用1 曲面的面积设曲面 的方程为 z = f （ x ，y)， 在 x Oy 面上的投影区域为 D , f （x，y）在 D 上具有一阶连续偏导数，则曲面 的面积
