1、联系 QQ1165557537(三)例题 【 例 1-4- l 】 判别级数 sin 的收敛性。1n【解】 级数 sin 为正项级数,因为1n而级数 发散(p-级数,p=1 的情形, ,根据比较审敛法的极限形式知此级数发散 .1n【 例 1 -4 - 2 】 判别级数的收敛性。 【 解 】 所给级数为正项级数,因为根据比值审敛法知所给级数发散。【 例 1- 4-3 】 判别级数 的收敛性。 1n【 解 】 所给级数为正项级数,因为根据根值审敛法知所给级数收敛。【 例 1-4 4】 数项级数的部分和数列有界是该级数收敛的 ( A )充分条件。 ( B )必要条件。( C )充分必要条件。 ( D
2、 )既非充分又非必要条件。【解 】 按数项级数收敛的定义,级数收敛即级数的部分和数列有极限,而部分和数列有界是部分和数列有极限的必要条件,故选( B ) 。注意对正项级数来说,部分和数列有界是级数收敛的充分必要条件,而对一般的非正项级数来说,部分和数列有界仅是级数收敛的必要条件,而不是充分条件。 【 例 1-4 -5】级数的收敛性是( A )发散 ( B )条件收敛 ( C )绝对收敛 ( D )无法判定【 解 】 按莱布尼兹判别法知,级数收敛;级数 是 p -级数 的情形,p 1 ,故级数发12n12散,因此应选( B ) 。【 例 1 】判别级数的收敛性。【 解 】 所给级数是任意项级数,
3、因为而级数 是收敛的(p-级数,p = 4 ) 。根据比较审敛法知,级数 收敛,即级数41n41sin绝对收敛,从而级数收敛。41sin【 例 1 - 4 -7 】判别级数 的收敛性。【 解 】 所给级数为任意项级数,因为根据任意项级数审敛法( 3 )知,所给级数发散。二、幂级数泰勒级数(一)幂级数的概念和性质 1 幂级数的概念称为幂级数,令 ,可化为00()nnax0tx0nat2 幂级数的收敛性若级数 当 时收敛,则对适合 的一切 x,级数 绝对收敛;若级数0nax0()x0x0nax当 时发散,则对适合 的一切 x ,级数 发散。0n0 00na3 幂级数的收敛半径及其求法若幂级数 在某
4、些点收敛,在某些点发散,则必存在唯一的正数 R ,使当 时,级数绝对0naxx收敛,当 时,级数发散。这个 R 称为幂级数的收敛半径;若幂级数只在 x = 0 处收敛,则规定收R敛半径 R = 0 ;若幂级数对一切 x 都收敛,则规定收敛半径 对幂级数 若0na则它的收敛半径4 幂级数的性质若幂级数 的收敛半径为 R ,则称开区间(- R , R )为幂级数的收敛区间,“0nax根据幂级数在 x R 处的收敛情况,可以决定幂级数的收敛域(即收敛点的全体)是四个区间:(- R , R ) 、 - R , R ) 、 (- R , R 、- R , R 之一。幂级数具有以下性质:( l )幂级数
5、的和函数在其收敛域上连续;0nax( 2 )幂级数 的和函数在其收敛区间内可导,且有逐项求导、逐项积分公式0n逐项求导、逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。(二)泰勒级数 1 泰勒级数的概念若 f ( x )在点 x0处具有各阶导数,则幂级数 称为函数 f ( x )在点 x0处()001)!nnnfx的泰勒级数,特别当 x0 = 0 时,级数 ()01!nfx称为函数 f ( a )的麦克劳林级数。2 函数展开成泰勒级数的条件设函数 f (x)在点 x0的某邻域 U ( x0)内具有各阶导数,则 f ( x)在该邻域内能展开成泰勒级数(即 f ( x )的泰勒级数收敛于 f ( x )本身)的充分必要条件是 f ( x ) 的泰勒公式中的余项(其中 )00(),1x3 常用函数的幂级数展开式