1、联系 QQ1165557537（三）例题 【 例 1-4- l 】 判别级数 sin 的收敛性。1n【解】 级数 sin 为正项级数，因为1n而级数 发散（p-级数，p=1 的情形， ，根据比较审敛法的极限形式知此级数发散 .1n【 例 1 -4 - 2 】 判别级数的收敛性。 【 解 】 所给级数为正项级数，因为根据比值审敛法知所给级数发散。【 例 1- 4-3 】 判别级数 的收敛性。 1n【 解 】 所给级数为正项级数，因为根据根值审敛法知所给级数收敛。【 例 1-4 4】 数项级数的部分和数列有界是该级数收敛的 （ A ）充分条件。 （ B ）必要条件。（ C ）充分必要条件。 （ D
2、 ）既非充分又非必要条件。【解 】 按数项级数收敛的定义，级数收敛即级数的部分和数列有极限，而部分和数列有界是部分和数列有极限的必要条件，故选（ B ） 。注意对正项级数来说，部分和数列有界是级数收敛的充分必要条件，而对一般的非正项级数来说，部分和数列有界仅是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。 【 例 1-4 -5】级数的收敛性是（ A ）发散 （ B ）条件收敛 （ C ）绝对收敛 （ D ）无法判定【 解 】 按莱布尼兹判别法知，级数收敛；级数 是 p -级数 的情形，p 1 ，故级数发12n12散，因此应选（ B ） 。【 例 1 】判别级数的收敛性。【 解 】 所给级数是任意项级数，
3、因为而级数 是收敛的（p-级数，p = 4 ） 。根据比较审敛法知，级数 收敛，即级数41n41sin绝对收敛，从而级数收敛。41sin【 例 1 - 4 -7 】判别级数 的收敛性。【 解 】 所给级数为任意项级数，因为根据任意项级数审敛法（ 3 ）知，所给级数发散。二、幂级数泰勒级数（一）幂级数的概念和性质 1 幂级数的概念称为幂级数，令 ，可化为00()nnax0tx0nat2 幂级数的收敛性若级数 当 时收敛，则对适合 的一切 x，级数 绝对收敛；若级数0nax0()x0x0nax当 时发散，则对适合 的一切 x ，级数 发散。0n0 00na3 幂级数的收敛半径及其求法若幂级数 在某
4、些点收敛，在某些点发散，则必存在唯一的正数 R ，使当 时，级数绝对0naxx收敛，当 时，级数发散。这个 R 称为幂级数的收敛半径；若幂级数只在 x = 0 处收敛，则规定收R敛半径 R = 0 ；若幂级数对一切 x 都收敛，则规定收敛半径 对幂级数 若0na则它的收敛半径4 幂级数的性质若幂级数 的收敛半径为 R ，则称开区间（- R , R ）为幂级数的收敛区间，“0nax根据幂级数在 x R 处的收敛情况，可以决定幂级数的收敛域（即收敛点的全体）是四个区间：（- R , R ） 、 - R , R ） 、 （- R , R 、- R , R 之一。幂级数具有以下性质：（ l ）幂级数
5、的和函数在其收敛域上连续；0nax（ 2 ）幂级数 的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导、逐项积分公式0n逐项求导、逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。（二）泰勒级数 1 泰勒级数的概念若 f （ x ）在点 x0处具有各阶导数，则幂级数 称为函数 f （ x ）在点 x0处()001)!nnnfx的泰勒级数，特别当 x0 = 0 时，级数 ()01!nfx称为函数 f （ a ）的麦克劳林级数。2 函数展开成泰勒级数的条件设函数 f （x）在点 x0的某邻域 U （ x0）内具有各阶导数，则 f （ x）在该邻域内能展开成泰勒级数（即 f （ x ）的泰勒级数收敛于 f （ x ）本身）的充分必要条件是 f （ x ） 的泰勒公式中的余项（其中 ）00(),1x3 常用函数的幂级数展开式
