第10讲 数学:微分学(六)(2011年新版).doc

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资源描述

1、联系 QQ1165557537(四)最大值最小值问题设 f ( x )在闭区间 a , b 上连续、除个别点外处处可导且至多在有限个点处导数为零,求 f (x)在 a ,b上的最大值与最小值的一般方法:设 f ( x )在( a , b )内的驻点及不可导点为 x 1, , x n,则比较的大小,其中最大的便是最大值,最小的便是最小值。(五)例题【解】 属 型, 运用罗必塔法则,得0【 解 】 属 型,运用罗必塔法则,得【 解 】 属 0 型,通过变形化为 ,然后运用罗必塔法则,得。【 解 】 属 00型,先取对数,求 :0limsnlx于是【 例 1 - 2 -37 】 已知函数 y = f

2、 ( x )对一切 x 满足 xf ( x ) + 3x f ( x ) 2 = 1 - ,若 f ( x 0) = 0 (x 0 0 ) ,则xl ( A ) f ( x o )是 f ( x )的极大值( B )f( x o )是 f (x)的极小值( C ) ( x o , f (x 0) )是曲线 y= f ( x )的拐点 ( D ) f (x 0)不是 f ( x )的极值, (x 0 , f ( x o ) )也不是曲线 y f( x )的拐点【 解 】 x x 0是 f ( x )的驻点,又 f ( x 0) = 0, 故 f (x 0)是 f 001()xl( x )的极小值

3、,应选( B ) 。【 例 l-2-38 】 求函数 y = 2 x 3 + 3 x2 - 12x + 14 在 -3 , 4 上的最大值与最小值。【解】 f ( x )=2x 3 + 3x2 12x +14 , f (x ) = 6x 2+6x 12 = 6 (x + 2) ( x -1) 。令f (x) = 0, 得 x1= -2, x 2= 1.算出 f ( -3 ) = 23, f ( - 2 ) = 34 , f ( 1 ) = 7 , f (4) = 142, 故最大值为 f (4 ) = 142 ,最小值为 f (1) = 7 。【例 l -2- 39 】 函数 f (x) =

4、asin x + sin3 x 在 x = 处取得极值, a 的值应为133( A )-2 ( B ) 2 ( C ) 3( D ) - .【解】 按可导函数取得极值的必要条件: f( x 0)= acosxo + cos3x0 = 0 ,代人 x0 = ,便得 a = 32 ,故选( B ) 。【例 1 -2 - 40】 若 f (x)在( a , b )内满足 f ( x ) 0 ,则曲线 y = f (x)在( a , b )内是 ( A )单调上升且是凹的 ( B )单调下降且是凹的 ( C )单调上升且是凹的 ( D )单调下降且是凸的 【 解 】 由 f (x )0 及函数单调性的

5、判定法, 知曲线是单调下降的。又由 f “ (x) 0 及曲线凹凸性的判定法,知曲线是凹的,故选( B ) 。六、偏导数全微分(一)偏导数与全微分1 偏导数概念函数 z = f( x,y )对 x、y ,的偏导数依次记作 (或 fx( x ,y ) ) , (或 fy , ( x, zzy ) ) ,它们的定义如下:类似地,可以定义三元函数 f ( x , y , z )的偏导数 fx(x, y , z ) 、f y( x , y ,z) 、f z( x , y ,z)等.按定义,偏导数的求法仍属一元函数微分法的问题。2 多元复合函数的求导法则设 u = ( x ,y) 、 v ( x ,y)

6、均具有偏导数,而 zf(u , v )具有连续偏导数,则复合函数 z f ( x ,y) , ( x ,y) 的偏导数存在,且上面这一求导法则,简称为 2 2 法则或标准法则。从这标准法则的公式结构,可得它的特征如下: 由于函数 z = f ( x ,y) , ( x ,y) 有两个自变量,所以法则中包含 及zx的两个偏导数公式。y 由于函数的复合结构中有两个中间变量,所以每一偏导数公式都是两项之和,这两项分别含有及 。zuv 每一项的构成与一元复合函数的求导法则相类似,即“因变量对间变量的导数再乘以中间变量对自变量的导数” 。由此可见,掌握多元复合函数的求导法则的关键是弄清函数的复合结构,哪

7、些是中间变量,哪些是自变量。为直观地显示变量之间的复合结构,可用结构图(或称树形图) 1-2 -1 来表示出因变量 z 经过中间变量 u 、 v 再通向自变量 x 、 y 的各条途径。按照上述标准法则的三个特征,我们可以将多元复合函数的求导法则推广。如,特别当有一个自变量,u (x ) , v ( x ) , z = f ( u , v )时,由于函数 z = f (x ) , ) , ( x ) 只有一个自变量,偏导数变成导数(这时称为全导数) ;函数复合结构中有两个中间变量,所以全导数公式中是两项之和;每项构成与一元复合函数求导法则类似。于是,有全导数公式又如, u (x ,y) , v (y) , z = f ( u , v ) ,复合函数 z =f (x ,y), ( y) 的结构图如图 1-2 - 2 所示。类似地依以上分析,则有

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