1、2007 年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题：(本大题共 10 个小题；每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数 f(x)是 R 上的奇函数，g(x)是 R 上的偶函数，若 129)(2xgxf ，则)(xgf( )A 1292B 1292xC 1292xD 2x2.有四个函数： y=sinx+cosx y= sinx-cosx y= cosin xycosin其中在 )2,0(上为单调增函数的是 ( )A B C和 D和 3.方程 xxx)1(12122的解集为 A(其中 为无理数，=3.141，x 为实数)，则 A 中所有元
2、素的平方和等于 ( )A0 B1 C2 D44.已知点 P(x,y)满足 )()sin4()cos4(2 Ryx，则点 P(x,y)所在区域的面积为 A36 B32 C20 D16 ( )5.将 10 个相同的小球装入 3 个编号为 1、2、3 的盒子(每次要把 10 个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( )A9 B12 C15 D186.已知数列 na为等差数列，且 S5=28，S 10=36，则 S15等于 ( )A80 B40 C24 D-487.已知曲线 C： xy2与直线 0:myl有两个交点，则 m 的取值范围是 ( )A ),12(B )1,
3、(C )12,D 12,08.过正方体 ABCD-A1B1C1D1的对角线 BD1的截面面积为 S，S max和 Smin分别为 S 的最大值和最小值，则minaxS的值为 ( )A 23B 26C 32D 3629.设 7log,1sin,8.035. zyx，则 x、y、z 的大小关系为 ( )Ax3)为定值，所以 C 点的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.因为 1|82|236|)|(|26|cos2 CBAaCBA又 2)(| aA，所以 18cosa，由题意得 5,71822.此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，4).所以 C 点的轨迹方程为
4、)0(1625yx(2) 不妨设 A 点坐标为 A(-3，0)，M(x 1,y1),N(x2,y2).当直线 MN 的倾斜角不为 900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)169(83)625( kxk显然有 0， 所以 221221 54,0kkx而由椭圆第二定义可得 2516342516453216482540 9)()(3(| 222 1121 kkkk xxxBNM只要考虑 251632k的最小值，即考虑 25163k取最小值，显然.当 k=0 时， |BNM取最小值 16.当直线 MN 的倾斜角为 900时，x 1=x2=-3,得 16)34(| 2BNM但
5、)0(1625yx，故 k，这样的 M、N 不存在，即 |BN的最小值的集合为空集.19.证明：由 题意可得 1sinisin222，且 、 )2,0(所以 coss()co(11sin2 因为 )cos()c(，所以 )(in(ssi 222 当 2时， .当 时， )(，同样有 2故 另一方面，不妨设 ，则 3sin,si令 211 i)3(sin,3si ，则 iii 12212)cos()cs()cos()s(sn 11因为 1，所以 1所以 )cs()cos(1所以 1如果运用调整法，只要 、 不全相等，总可通过调整，使 11增大.所以，当 = = 3arcsin时，+ 取最大值 3 3arcsin.综上可知， arcsin2
