1、微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher1等差数列一、 知识要点1、 一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差2、 等差数列的通项公式为： ， 或 1nad*nNnmad3、 等差数列的前 项和的公式为：，或 12nnS124、 若在两个数 和 之间插入一个数 ，使 是等差数列，则 是 的等差abA,abA,ab中项， 2A5、 若 为等差数列，则 也是等差数列nankab6、 若 为等差数列，且 ，则 n *,mpqnNnmpqaa7、 在等差数列中，已知 中的任意三个，可以求出其余两个（知三1nnadS、
2、、 、 、求二） 8、 证明一个数列 是等差数列的基本方法：证明 （常数） ；证明n 1nad122na二、 例题精讲例 1、等差数列 的公差 ，前 100 项的和 ，求na12d1045S的值359a答案：60微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher2例 2、等差数列 中， ， ，问此数列前多少项之和最大？并求此最na125179S大值答案：前 13 项最大，为 169例 3、 （1）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 nSna361S612（2）已知等差数列 中， ， ，以 表示n13502469anS的前 项和，则使得 达到最大值的 naSn答案：（1） ；（2）2030例
3、 4、 （1）设等差数列 的项数为奇数，且奇数项之和 ，偶数项之和na4S奇，求该数列的项数 ，前 项和 ，中间项 的值3S偶 nSa中（2）等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，问前几项和最小？并nan103057求 最小时的 nS答案：（1）项数为 7， ，中间项为 11；（2）前 5 项和、前 6 项和最小，此nS时 60a微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher3例 5、 （1）在等差数列 中，若 ， ，且 ，则使其前 项和na101a10|an的最小正整数 是 0nS（2）若 是等差数列，首项 求使前 项和na120132013,aan成立的最大自然数 0nSn答案：（1）
4、21；（2）4024例 6、已知 是各项不同的正数等差数列， 成等差数列，又na124lg,la， 21nb*N微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher4（1） 证明 为等比数列；nb（2） 如果数列 前 3 项和等于 ，求数列 的首项 和公差 n724na1d答案：（1）提示：证明 ；（2） 1nb13d*例 7、设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，已知 ，数列nanS213a是公差为 的等差数列nSd（1） 求数列 的通项公式（用 表示） ；nand、（2） 设 为实数，对满足 且 的任意正整数 ，不等式c3mkmnk、 、都成立，求证： 的最大值为 mnkSc92答案：（1
5、） ；（2）提示：转化为1nad2minck微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher5三、 课堂练习1、等差数列 中，已知 ， ，则公差 na121647ad答案：32、设数列 是公差为 的等差数列，其前三项之积为 48，则它的首项为 na2答案：63、在等差数列 中，满足 ，且 ， 是数列 的前 项和，若na473a10nSna取得最大值，则 等于 nS答案：94、在等差数列 中， ， ，则 na5362a4510a答案： 95、设 ，利用课本中推导等差数列前 项和公式的方法，可求得12xfn微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher65f4056fff 答案： 326
6、、已知函数 ，项数为 27 的等差数列 满足 ，sintafxxna,2n且公差 若 ，则当 时，0d12270fffa kkfa答案：14四、 课后作业一、填空题1、已知等差数列 共 10 项，奇数项之和为 15，偶数项之和为 25，则 na 3a答案： 2、公差不为零的等差数列 前 项和为 ，若 ，其中 ，且nanSpq*,pN，则 pqpqS答案：03、设数列 的通项 ，则 na*27,nN1215|aa答案：1534、设数列 的前 项和为 ，关于数列 有下列三个命题：nanSna若数列 即是等差数列又是等比数列，则 ；n *1,nN微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher7
7、若 ，则数列 是等差数列；2nSabna若 ，则数列 是等比数列1nnn这些命题中，真命题的序号是 答案：5、等差数列 的前 项之和为 30，前 项之和为 100，则其前 项之和为 na2n3n答案：2106、过圆 内一点 有 条弦，它们的长度构成等差数列，首项 、210xyx5,3n1a末项 分别为过点 的最短、最长的弦长，若公差 ，则 的取值范围na, 1,32dn是 答案：5、6、7二、选择题7、已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则nabnnAB7453n使得 为整数的正整数 的个数为（ ）nabA、2 B、3 C、4 D、5答案：D8、已知一个等差数列的前 9 项的算
8、术平均数为 10，前 10 项的算术平均数为 11，则此等差数列的公差为（ ）微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher8A、1 B、2 C、 D、432答案：B9、设数列 是等差数列，且 ， ， 是数列 的前 项和，则（ na16a9nSna）A、 B、 C、 D、45S45S9185S答案：B三、解答题10、已知数列 满足： ， na1112320nnaa（1）求证： 是等差数列；n（2）求 na答案：（1）略；（2） 2143na11、已知等差数列 ，公差大于 0，且 是方程 的两根，数na25,a2170x列 的前 项和为 ，且 nbT1nnb（1）写出数列 、 的通项公式；nab（2）记 ，求证： nc1nc微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher9答案：（1） ， ；（2）提示：作差比较即可21na3nb12、设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图像上，nanS,n*N32yx（1）求数列 的通项公式；na（2）设 ， 是数列 的前 项和，求使得 对所有 都成13nbnTnb20nmT*nN立的最小正整数 m答案：（1） ；（2）10 65na
