1、微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher1函数的单调性一、 知识要点1、 函数单调性的定义：对于给定区间上的函数 ，yfxD（1 ） 若对于属于该区间的任意两个自变量 ，当 时都有 ，12,1212fxf则称 在该区间是增函数；fx（2） 若对于属于该区间的任意两个自变量 ，当 时都有 ，12,x12x12fxf则称 在该区间是减函数fx2、函数单调性的两种等价定义设 ，则12,xab（1 ） 在 上是增（减）函数；120ffxfx,ab（2 ） 在 上是增（减）函数12120xfff,3、函数单调性的一些性质（1）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，一个增（减）函数与一个减（增
2、）函数的差是增（减）函数；（2）奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；（3）互为反函数的两个函数在相应区间上有相同的单调性；（4）若 在区间 上是增（减）函数，则 在 的任一子区间上也是增（减）fxDfxD函数；微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher2（5）若 和 的单调性相同，则复合函数 是增函数；yfugx yfgx若 和 的单调性相反，则复合函数 是减函数二、 例题精讲例 1、 设二次函数 213fxax（1） 若 的单调递增区间是 ，求实数 的值；f ,a（2） 若 在区间 内是增函数，求实数 的取值范围fx2,答
3、案：（1） ；（2） 3a3a例 2、 已知函数 ，求函数 的定义域，并讨论它的奇偶性21logxfxfx和单调性答案：定义域为 ；奇函数；在 和 上都是减函数1,0,1,0,微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher3例 3、 设函数 对任意的 ，都有 ，且当fx,abR1fabffb时， 01（1） 求证： 是 上的增函数；fx（2） 若 ，解不等式 45f233fm答案：（1）提示：用定义法证明；（2） 41例 4、 是否存在实数 ，使函数 在区间 上是增函数？如a2logafxx2,4果存在，说明 可取哪些值？如果不存在，说明理由答案：存在， 1,微信公众号：数学第六感 微信
4、号：AA-teacher4例 5、 已知 是定义在 上的奇函数，若 ，且 ，有fx1,1,ab0ab0ab（1） 判断 在 上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；fx1,（2） 解不等式 256ffx答案：（1）增函数，用定义法证明；（2） 1|03x*例 6、已知函数 （ ，常数 ）2afx0xaR（1） 讨论函数 的奇偶性，并说明理由；f（2） 若函数 在 上为增函数，求 的取值范围fx2,a微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher5答案：（1）当 时，偶函数；当 时，为非奇非偶函数；0a0a（2） 6*例 7、已知函数 对任意实数 均有 ，其中常数 为负数，且fxx2fkf
5、xk在区间 上有表达式 fx0,2f（1）求 和 的值；f.5f（2）写出 在 上的表达式，并讨论函数 在 的单调性；fx3, fx3,（3）求出 在 上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值f,答案：（1） ， ；1fk32.54fk（2） ，在 和 上为增函数，2,2,0,124,23xxkfxx,1,3在区间 上为减函数；,（3）当 时，最小值 ，最大值 ；1k23fk1fk微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher6当 时，最小值 ，最大值 ；1k31ff13ff当 时，最小值 ，最大值 0f3fk*例 8、已知某商品的价格上涨 ，销售的数量就减少 ，其中 为正常数%x%
6、mx（1）当 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？2m（2）如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求 的取值范围答案：（1）上涨 50%时，销售总金额最大；（2） 0,m三、 课堂练习1、如果函数 在区间 上是减函数，那么实数 的取值范围是 2fxa,1a答案： a2、 ，当 时，函数单调递增；当 2lg3lyxxx微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher7时，函数单调递减；当 时， xminy答案： ， ， ，3210,32,10143、若集合 ，则集合 的元素共有 个，1|log,23nAZA子集共有 个答案：5，324、定义在 上的函数 既是增函数，又是奇函数，且
7、2,yfx2ft，则 的取值范围是 ft0t答案： 2,65、已知偶函数 满足 ，在区间 与 上分别fxR410ff,3,递减和递增，则不等式 的解集为 30答案： ,41,46、已知奇函数 满足：（1）定义域为 ；（2） （常数 ） ；fxRfxa0（3）在 上单调递增；（4）对任意一个小于 的正数 ，存在一个自变量 ，0, d0x使 ，请写出一个这样的函数解析式： fxd答案： 或 等，分段函数也可以21ayxarctnxy微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher8四、 课后作业一、 填空题1、函数 的单调递减区间是 ，单调递增20.3logyx区间是 答案： ，,132、若
8、，对于 有 ablog,l,log,baba答案： loglloglabba3、已知函数 在 上是 的减函数，则 的取值范围是 l2ayx0,1xa答案： 1,4、函数 是偶函数且在区间 上递增，则 与 的大fx0,3f245fa小关系是 答案： 2453faf5、已知 是定义在 上的减函数，其图像经过 ， 两点，fx,4,1A0,B的反函数是 ，则 的值是 ；不等式f1f1f微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher9的解集是 21fx答案： ，4,6、已知函数 ，对于 上的任意 ，有如下条件：2cosfxx,212,x， ， ，其中能使 恒成立的条件序号是 12x211212ff
9、答案：二、选择题7、某商品价格前两年每年递增 20%，后两年每年递减 20%，则四年后该商品的价格与原来的价格比较，其变化情况是（ ）A、增加了 7.84% B、减少了 7.84%C、减少了 9.5% D、不增加也不减少答案：B8、若 ，则 的取值范围是（ ）2log13aA、 B、 C、 D、 或023a213a203a1答案：D9、若 是 上的减函数，且 的图像过点 和 ，则不等式fxRfx0,A,1B的解集是（ ）12A、 B、 C、 D、,3,20,31,2答案：D三、解答题微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher1010、已知函数 ，其中 ， log1afx0a1（1）若在区间 上有 ，判断 在其定义域上的单调性；,0fxfx（2）在（1）的条件下对任意的正数 ，求证：12, 121ffx12xf答案：（1）减函数；（2）提示：利用基本不等式11、 （1）写出函数 的递减区间；20.3logfxx（2）已知函数 是 上减函数，求实数 的取值范14,1,l,afxxRa围答案：（1） ；（2）3,17312、已知函数 的图像与函数 的图像关于点 对称fx12hx0,1A（1）求 的解析式；f（2）若 ，且 在区间 上为减函数，求实数 的取值范agxfxg0,2a围答案：（1） ；（2）1fx3a
