1、微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher1函数的最值及其应用一、 知识要点1、 函数最值的基本概念（1） 定义：对定义域内的任意 ， 恒成立，则 称函数x0ffx0fx的最小值，记作 ；对于定义域内的任意 ，yfxminy恒成立，则 称函数 的最大值，记作00fxyfxmaxyf（2） 区间最值：在闭区间 上， 的最大值或最小值称为区间最值，单调,abfx连续函数的区间最值只能在区间端点取得（3） 零点：在定义域内，若存在实数 ，当 时， ，则 称函数cx0fcxc的零点，即方程 的根fx0fx2、 求函数最值（1）配方法；（2）判别式；（3）利用基本不等式；（4）换元法；（5）单
2、调性法；（6）数形结合法微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher2二、 例题精讲例 1、 （1）若正数 满足 ，则 的取值范围是 ；,ab3ab（2）函数 的最大值为 ；0yx（3）若函数 在区间 上的最大值是最小值的 3 倍，则log1af,2a（ ）aA、 B、 C、 D、2421412（4）函数 在 上的最大值和最小值之和为 ，则 的值fxlogax0, a为（ ）微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher3A、 B、 C、 D、141224（5）函数 的最大值是（ ）fxxA、 B、 C、 D、4543443答案：（1） ；（2） ；（3）A ；（4）B；（5）D
3、9ab1例 2、设 是方程 的两个实数根，当 为何值时，,2420xmxRm有最小值？并求最小值答案： ，最小值是1m2例 3、求下列函数的最值：（1） ；21,24fxax（2） ；2,3,f （3） ；236,0fxxa（4） ；21fx（5） sin2cof微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher4答案：（1）当 时，最大值 ，最小值 ；当 时，最大值4a54a178a2，最小值 ；当 时，最大值 ，最小值 ；当785321a，最大值 ，最小值 43（2）当 时，最大值与最小值都是 1；当 时，最大值 ，最小值 ；0a0a1a81当 时，最大值 ，最小值 81（3）当 时，最
4、大值 ，最小值 ；a6236a当 时，最大值 ，最小值 01223a（4）最小值 7；（5）最大值 ，最小值47347例 4、已知 是二次函数，不等式 的解集是 ，且 在区间fx0fx,5fx上的最大值是 12.1,（1） 求 的解析式；fx（2） 解关于 的不等式 21050xaxaf答案：（1） ；（2）当 时， ；当10fxx10a5,a微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher5时， ；当 时，1a,01a5,0,a例 5、已知函数 2,1xafx（1） 当 时，求函数 的最小值；12af（2） 若对任意 ， 恒成立，试求实数 的取值范围,x0fxa答案：（1） ；（2）73
5、a例 6、设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840 ，画面的宽与高的比为 ，2cm1画面的上下各留 8 的空白，左、右各留 5 的空白，怎样确定画面的高与宽的尺cm寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求 ，则 为何值时，能使宣传3,4画所用纸张面积最小？答案：高 ，宽 ，215432例 7、已知函数 1lgllg1xf ax（1） 是否存在一个实数 ，使得函数 的图像关于某一条垂直于 轴的直ayfx微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher6线对称？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；a（2） 当 的最大值为 2 时，求 的值fx答案：（1）不存在；（2）19*例 8、已知函数
6、 ， ，当 时，恒有2lgxfab10fx1lfxf（1）求 的表达式；f（2）设不等式 的解集为 ，且 ，求实数 的取值范围；lgfxtA0,4t（3）若方程 的解集为 ，求实数 的取值范围l8fmm答案：（1） ；（2） ；（3）lg1xf 80,50,18三、 课堂练习1、函数 的最大值是 ，最小值是 2,1,5yxx答案：4， 52、若 ，则 的最大值是 26xy2xy答案：153、函数 在 中的最大值比最小值大 ，则 的值为 0,1xfa,22a微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher7答案： 或1234、函数 在 上的最小值为 73xy1,2答案： 25、已知函数 的最
7、大值为 9，最小值为 1，则 ，281axbyab答案：5，56、已知函数 的值域为 ， 的值域为 ，则集合34xfA2971xgB与 的关系是 AB答案： 微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher8四、 课后作业一、 填空题1、已知 ，则函数 的最小值为 52x245xf答案：12、函数 的最大值是 3,0,15,xyx答案：43、在函数 中，若 成等比数列，且 ，则 有2fxabc,abc04ffx最 值（填“大”或“小” ） ，且该值为 答案：大， 4、设集合 ， ，则 时，2|30Ax2|30BxxAB函数 的最大值是 ，最小值是 y答案： 25、函数 的最小值是 lgl3
8、yx答案： 2l6、对于任意实数 、 、 表示 、 中较大的那个数，则当 时，1x212ma,x12xxR微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher9函数 ， 的最大值与最小值的差是 2max,f13,2x答案：5二、选择题7、已知 且 ，则函数 的最大值是（ 0,xy1x212log841uxy）A、 B、 C、 D、12log3012log5答案：B8、若 ，则函数 的最小值是（ ）0x248136xyA、 B、2 C、 D、16251答案：B9、定义域为 的函数 、 的最大值分别是 、 ，则下列说法正确的是RfxgMN（ ）A、 的最大值为fxgMNB、 的最大值为fC、存在唯
9、一的实数 ，使得0x0fxD、对任意实数 ，恒有 fM答案：D微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher10三、解答题10、函数 ，其中 2,0,1afxxaR（1）求当 分别取 时函数 的最值；3,fx（2）求函数 的最值，并求出使函数取到最值时 的值fxx答案：（1）当 时，最小值 5，无最大值；3a当 时，最小值 2，无最大值；当 时，最大值 1，无最小值；a（2）当 时，最大值为 ，无最小值；02fa当 时，最小值 ，无最大值；a1f当 ，最小值 ，无最大值 202af11、 （1）已知 ，求函数 的值域；32log,19fxx2yfxf（2）两家人共同拥有一块土地 ，形状是等腰直角三角形， ，ABC90C如果两家人准备划分一条分割线 （直线段） ，使两家所得土地面积ACamPQ相等，其中 分别在线段 上，如果准备在分割线上建造一堵墙，请问如,PQ,何划分分割线，才能使造墙费用最少；如果准备在分割线上栽种同一种果树，请问如何划分分割线，才能使果树的产量最大答案：（1） 6,13
