1、袁轲教学资料（高中数学）1高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系, .UxACxAx2.德摩根公式 .();()UUUBBC3.包含关系 AAAR4.容斥原理 ()()cardBcardBcard()CCcrB.() ()AcardC5集合 的子集个数共有 个；真子集有 1 个；非空子集有 1 个；非空的真子集12,n 2n2n2n有 2 个.n6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 ;2()(0)fxabc(2)顶点式 ;)hka(3)零点式 .12x7.解连不等式 常有以下转化形式(NfM()fx)()0fN|2x.1()fx8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者
2、是后者的一个必要而不是0)(21k 0)(21kf充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或)0(acbxa )21 0)(21kf且 ,或 且 .)(1kf12kf2ab9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得，)0()(2acbxf qp, abx2具体如下：(1)当 a0 时，若 ，则 ；qp, minmax()(),(),2bfxfffpq， ， .qpabx,2max(),fini),(2)当 a0)（1） ，则 的周期 T=a；)()af)(xf（2） ，0或 ，)(1(fxf或 ,af)或 ,则 的周期 T=2a
3、；21()(,()012xfxaf)(xf(3) ，则 的周期 T=3a；)1ff(4) 且 ，则 的周期 T=4a；()(2121xfx1212()(),0|)ffxxa)(xf(5) )3faa,则 的周期 T=5a；()(4)f(f(6) ，则 的周期 T=6a.(fx袁轲教学资料（高中数学）530.分数指数幂 (1) （ ，且 ）.1mna0,anN1(2) （ ，且 ）.n,31根式的性质（1） .()a（2）当 为奇数时， ；na当 为偶数时， .n,0|32有理指数幂的运算性质(1) .(,)rsrsaQ(2) .()0(3) .,rrbbr注： 若 a0，p 是一个无理数， 则
4、 ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式.logbaN(0,1)N34.对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ).llmaam10N推论 ( ,且 , ,且 , , ).oglmnb0an1n035对数的四则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则(1) ;l()llogaaN(2) ;oga(3) .ll()naR36.设函数 ,记 .若 的定义域为 ,则 ，且)0()(2acbxxfm acb42)(xfR0a;若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要单独检验.037. 对数换底不等式及其推广若 , , , ,则函数a0
5、bx1alog()axy(1)当 时,在 和 上 为增函数.(,),)b， (2)当 时,在 和 上 为减函数.l()axy推论:设 ， ， ，且 ，则1nm0pa1（1） .log()logpmn（2） .2aa袁轲教学资料（高中数学）638. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 .pxy(1)xNp39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系( 数列 的前 n 项的和为 ).1,2nnsaa12nnsa40.等差数列的通项公式；*11()()nadanN其前 n 项和公式为 1()2ns1()2d.1dad41.等比数列的通项公式；*11(
6、)nnqN其前 n 项的和公式为 1(),nnasq或 .1,nnsa42.等比差数列 : 的通项公式为n11,(0)nqadbq；(),nbdq其前 n 项和公式为.(1),(1)nnbdqs43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).1)(nabxanb44常见三角不等式（1）若 ，则 .0,)2sitx(2) 若 ，则 .(x1ncos2(3) .|sin|cos|45.同角三角函数的基本关系式 袁轲教学资料（高中数学）7， = ， .22sinco1tancositan1cot46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 21()si,sin(
7、2nco21()s,s(2innconco47.和角与差角公式;sin()sicosin;co.tanta1t(平方正弦公式);22sin()si()siin.coco= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).iab2i)ab()abtanb48.二倍角公式 .sin2sic.2222conos1sin.tata149. 三倍角公式 .3sin3i4sinisn()si()3.cococo.32tatn3tan()tan()1350.三角函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR(A, 为常数，且 A0，0)的周期si()yxcos()yx；函数 ， (A, 为常数，且 A0，0)的周期
8、 .2Ttan,2xkZT51.正弦定理 .2sinisibcRABC52.余弦定理;22oaA;cca.sb53.面积定理（1） （ 分别122abcShhabc、 、 表示 a、b、c 边上的高）.(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)袁轲教学资料（高中数学）8（2） .11sinsisin2SabCcAaB(3) .2(|)()OABBO54.三角形内角和定理 在ABC 中，有 (.22)CA55. 简单的三角方程的通解.sin(1)arcsin(,|1kxaZa.o)co.t t,R特别地,有.sin(1)k.cos2Z.tat56.最简单的三角不等式及其解集.sin
9、(|1)(arcsin,2arcsin),xxkkkZ.2.co| o,o,a.s()(rsrs).tnactn,),2xRxkkZ.a()(rta257.实数与向量的积的运算律设 、 为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.58.向量的数量积的运算律：(1) ab= ba （交换律）;(2)（ a）b= （ ab）= ab= a（ b）;(3)（ a+b）c= a c +bc.59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、 2，使得 a=
10、 1e1+ 2e2不共线的向量 e1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底60向量平行的坐标表示 设 a= ,b= ，且 b 0，则 a b(b 0) .(,)xy(,)A1210xy53. a 与 b 的数量积(或内积)ab=|a|b|cos61. ab 的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积62.平面向量的坐标运算(1)设 a= ,b= ，则 a+b= .1(,)xy2(,)12(,)xy袁轲教学资料（高中数学）9(2)设 a= ,b= ，则 a-b= . 1(,)xy2(,)12(,)xy(3)设 A ，B ,则 .12(,
11、)ABOxy(4)设 a= ，则 a= .,R,)(5)设 a= ,b= ，则 ab= .1()2(,)12)63.两向量的夹角公式(a= ,b= ).1221cosxy1,)xy2(,64.平面两点间的距离公式=,ABd|AB(A ，B ).2211()()xy1(,)xy2(,)65.向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，则,2,xA|b b=a .121a b(a 0) ab=0 .2y66.线段的定比分公式 设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则1(,)Pxy2(,)x(,)Px12P12P12y12O（ ）.12()OPttPt67.三角形的重心坐标公式 ABC
12、三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则ABC 的重心的坐标是1Ax,y)2B(3Cxy).123123(,)xyG68.点的平移公式 . hxhykyk OP注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，且 的坐标为 .F(,)Pxy(,)hk69.“按向量平移”的几个结论（1）点 按向量 a= 平移后得到点 .(,)Px(,)h(,)xhyk(2) 函数 的图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的函数解析式为 .yfC,)kC ()yfx(3) 图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,若 的解析式 ,则 的函数解析式为 ()fC.()yfhk(4)曲线 : 按向量 a=
13、 平移后得到图象 ,则 的方程为 .(,)0fx(,)h ,0xhk(5) 向量 m= 按向量 a= 平移后得到的向量仍然为 m= .yk()xy70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则OABC,ABC,abc（1） 为 的外心 .22O（2） 为 的重心 .0袁轲教学资料（高中数学）10（3） 为 的垂心 .OABCOABCOA（4） 为 的内心 .0abc（5） 为 的 的旁心 .71.常用不等式：（1） (当且仅当 ab 时取“=”号),abR2（2） (当且仅当 ab 时取“=”号)ab（3） 30,).cc（4）柯西不等式 222()(
14、),abddR（5） .ba72.极值定理已知 都是正数，则有yx,（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；pyxp2（2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .sx41s推广 已知 ，则有Ryx, y)()(22（1）若积 是定值,则当 最大时, 最大；|yx|当 最小时, 最小.|（2）若和 是定值,则当 最大时, 最小；| |x当 最小时, 最大.|yx|73.一元二次不等式 ，如果 与 同号，则其20()axbc或 20,40)abaca2xbc解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之x间.；121212()()x., 0x或74.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有.2xaax或 .a75.无理不等式（1） .()0()()ffxgxfg（2） .2()0()()0fxffx或（3） .2()()fxgfg76.指数不等式与对数不等式 (1)当 时,1a
