1、微信公众号：中学数学研讨部落 数学教师教研 QQ 群 545433191 / 7这或许是史上最全的极值点偏移系列文章目录极值点偏移（0） 偏移新花样（拐点偏移） .2极值点偏移（1） 对称化构造（常规套路） .4极值点偏移（2） 函数的选取（操作细节） .7极值点偏移（3） 变更结论（操作细节） .11极值点偏移（4） 比值代换（解题方法） .15极值点偏移（5） 对数平均不等式（本质回归） .20极值点偏移（6） 泰勒展开（本质回归） .25极值点偏移（7） 好题精选一题多解 23 例 .28极值点偏移（8） 一题弄懂极值点偏移 5 大套路 .35来源：微信公众号 中学数学研讨部落作者：杨春
2、波 编辑 王波微信公众号：中学数学研讨部落 数学教师教研 QQ 群 545433192 / 7极值点偏移（5）对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作建立不等式的方法中看到这样一个不等式链：，11ln2ee2lnbabaaba 不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题对数平均不等式：对于正数 ， ，且 ，定义 为 ， 的对数平均值，且ablnab有 ，即几何平均数对数平均数算术平均数，简记为ln2ab,GLA先给出对数平均不等式的多种证法证法 1（对称化构造） 设 ，则 ，0lnabRlnlkab，构造函数 ，则 由lnlkabfxxff得 ，且 在 上 ，在 上 ， 为fx0fk
3、 ,kA,kAxk的极大值点对数平均不等式即 ，等价于 ，这是两个f 2ab2ab常规的极值点偏移问题，留给读者尝试证法 2（比值代换） 令 ，则1atb1ln2ln2tbtab，构造函数可证11lltt tt证法 3（主元法） 不妨设 ，ablnln0lab aba微信公众号：中学数学研讨部落 数学教师教研 QQ 群 545433193 / 7记 ， ，则lnabfa,，得 在 上 ，有2102fbaab fa,bA，左边得证，右边同理可证0af证法 4（积分形式的柯西不等式） 不妨设 ，则由得 ，2lnlnln22ee1aaaxxbbbddx221lnaba；l由 得 ，22211aaab
4、bbdxdx21lnbabln证法 5（几何图示法） 过 上点 作切线，由曲边梯形面积，大于直1fx2,ab角梯形面积，可得 ，即 ；ln2abadxln2ab如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得，即 11ln2ab abdxb lnab由对数平均不等式的证法 1、2 即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题再解例 1： 即 ， ，则12fxf12exx12lnlx（正数 ， 的对数平均数为 1） ，于是 ，得 ，21ln1 121x12且 2x微信公众号：中学数学研讨部落 数学教师教研 QQ 群 545433194 / 7再解例 2：
5、即 ；由22e10xfxa2e10xa得 ，两式相减得120ff 22x，12112eexxa下面用反证法证明 12若 ，则 ， ，取对数得12x12ee0xx12eexx，则 12lnln12lnl而由对数平均不等式得，121221 122lnllnlxxx x 矛盾再解例 3：由 得 ，12lnlxxm1lnx2lmx；121212llnnlxxx121212nllm由对数平均不等式得 ，121212l0,ln,l0lnnxmxx，得 122lnx12e再解练习 1：由 得 ，则 ，12llnaxx1210lneax12x得 ；12ex，已证121212lnxaxxa再解例 4：同例 1，
6、不再详述微信公众号：中学数学研讨部落 数学教师教研 QQ 群 545433195 / 7再解例 5：同例 1 得到 ，则 2x1212xx再解例 7（2 ）： 易得 ，则 ，则lnlnl0,aba1lnab， 1ab再解例 8： ， ，得 ，122lnlnxaxa1212lnxax12lnxa则 ， ， 1x124121246再解练习 2：原题结论抄写有误，应更正为 0fx即 ， ，则0fx2eexalna1122ln 得 ，则11212lnl1xxx（正数 ， 的对数平均数为 1） 21lnl12于是， ，得 ，且 1212xx12x124x得 ，所以 ，由此1212lnlnaa12lna可
7、得 0fx解练习 3：选项 D： 即 ，则12fxf12lnlx， ，所以1212lnxx1212lx1212121244顺带地，也有 121212xxxx极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，解题的关键有以下几步：微信公众号：中学数学研讨部落 数学教师教研 QQ 群 545433196 / 7（1）根据 建立等量关系；120fxf（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数；（3）通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用 ， 表示） ，代入对数平均不等式求1x2解细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有局限性，也不是万能的（再解过程
8、中漏掉了例 6） ，其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键，最后再举一例例 10 设函数 的两个零点是 ， ，求证：2lnfxax1x2120xf证法 1： 首先易知 ，且 在 上 ，在 上 ，不妨设afx10,aA1aA， ，构造函数120x1212120xf x可证Fffxa证法 2： 由题意得 ，两式相减得2112ln0ax，12121212lnxax，xa，12120lnxax所以 211212 0axax121212120axxf微信公众号：中学数学研讨部落 数学教师教研 QQ 群 545433197 / 7这或许是史上最全的极值点偏移系列文章1、极值点偏移问题专题一偏移新花样拐点偏移 PK 极值点偏移常规套路2、极值点偏移问题专题二如何选择合理的函数 3、极值点偏移问题专题三变更结论处理偏移4、极值点偏移问题专题四比值代换齐次消元5、极值点偏移问题专题五对数平均显神威6、极值点偏移问题专题六本质回归泰勒展开7、极值点偏移问题专题七历年精选一题多解 23 例其他相关文章8、利用对数平均不等式处理极值点偏移压轴难题 9、一题学懂极值点偏移五大处理套路 来源： 数学教师教研 QQ 群 54543319
