1、高中数学解题方法完全击破，高考必备第一章 高中数学解题基本方法一、 配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺 xy 项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab) a 2abb ，将这个公22式灵活运用，可得到各种基本配方
2、形式，如：a b (ab) 2ab(ab) 2ab；222a abb (ab) ab(ab) 3ab(a ) （ b） ；232a b c abbcca (ab) (bc) (ca) 22122a b c (abc) 2(abbcca)(abc) 2(abbcca)2结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos） ；x (x ) 2(x ) 2 ； 等等。2x1x、再现性题组：1. 在正项等比数列a 中，a a +2a a +a a =25，则 a a _。n153537352. 方程 x y 4kx2y5k0 表示圆的充要条件是_。2A. 1
3、 C. kR D. k 或 k1144 43. 已知 sin cos 1，则 sincos 的值为_。A. 1 B. 1 C. 1 或1 D. 04. 函数 ylog (2x 5x3)的单调递增区间是_。122A. （, B. ,+) C. ( , D. ,3)5454254545. 已知方程 x +(a-2)x+a-1=0 的两根 x 、x ，则点 P(x ,x )在圆 x +y =4 上，则1122实数 a_。【简解】 1 小题：利用等比数列性质 a a a ，将已知等式左边后配方mpm（a a ） 易求。答案是：5。 322 小题：配方成圆的标准方程形式(xa) (yb) r ，解 r
4、0 即可，选 B。 222223 小题：已知等式经配方成(sin cos ) 2sin cos 1，求出222sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选 C。4 小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选 D。5 小题：答案 3 。1、示范性题组：例 1. 已知长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24，则这个长方体的一条对角线长为_。A. 2 B. C. 5 D. 64【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为 x,y,z，则,而欲求对角线长 ，将其配凑成两已知式的组合形式14()xyz xyz2可得。【解】设长方体长宽高分别为 x
5、,y,z，由已知“长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24”而得： 。21424()xyz长方体所求对角线长为： ()()xyzxyz25612所以选 B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例 2. 设方程 x kx2=0 的两实根为 p、q，若( ) +( ) 7 成立，求实数 k 的2 2qp2取值范围。【解】方程 x kx2=0 的两实根为 p、q，由韦达定理得：pqk，pq2 ,2( ) +( ) pqpq42(
6、)()2()(qpq2227， 解得 k 或 k 。k24810又 p、q 为方程 x kx2=0 的两实根， k 80 即 k2 或 k22 2综合起来，k 的取值范围是： k 或者 k 。10【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到 pq、pq 后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成 pq 与 pq 的组合式。假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。例 3. 设非零复数 a、b 满足 a abb =0
7、，求( ) ( ) 。22ab198b19833【分析】 对已知式可以联想：变形为( ) ( )10，则 （ 为 1 的立方ab2ab虚根）；或配方为(ab) ab 。则代入所求式即得。2【解】由 a abb =0 变形得：( ) ( )10 ，2 2设 ，则 10，可知 为 1 的立方虚根，所以： ， 1。1a3又由 a abb =0 变形得：(ab) ab ，222所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 198ba198ab929ab9992 。9【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用 1 的立方虚根，活用 的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活
8、性，要求我们善于联想和展开。【另解】由 a abb 0 变形得：( ) ( )10 ，解出 后，22ab2 a132i化成三角形式，代入所求表达式的变形式( ) ( ) 后，完成后面的运算。此方法用99于只是未 联想到 时进行解题。132i假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由 a abb 0 解出：22a b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫i佛定理完成最后的计算。、巩固性题组：1. 函数 y(xa) (xb) （a、b 为常数）的最小值为_。22A. 8 B. C. D.最小值不存在()22. 、 是方程 x 2axa60 的两实根，则(-1) +(-
9、1) 的最小值是2 22_。A. B. 8 C. 18 D.不存在493. 已知 x、yR ，且满足 x3y10，则函数 t2 8 有_。 xyA.最大值 2 B.最大值 C.最小值 2 B.最小值224. 椭圆 x 2ax3y a 60 的一个焦点在直线 xy40 上，则 a_。2A. 2 B. 6 C. 2 或6 D. 2 或 65. 化简：2 的结果是_。18sincosA. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 446. 设 F 和 F 为双曲线 y 1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足F PF 90，12x24 12则F PF 的面
10、积是_。7. 若 x1，则 f(x)x 2x 的最小值为_。28. 已知 0； 是否存在一个实数 t，使当 t(m+t,n-t)时，f(x)1，t1，mR，xlog tlog s，ylog tlog sm(log tlog s),sts4t4s2t2 将 y 表示为 x 的函数 yf(x)，并求出 f(x)的定义域； 若关于 x 的方程 f(x)0 有且仅有一个实根，求 m 的取值范围二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，
11、从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 2 20，先变形为设 2 t（t0），而变为熟悉x x的一
12、元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y 的值域时，易发现 x0,1，设1xsin ， 0, ，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其22中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件x y r （r0）时，则可作三角代换 xrcos、yrsin 化为三角问题。22均值换元，如遇到 xyS 形式时，设 x t，y t 等等。S255我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的
13、取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t0 和 0, 。2、再现性题组：1.ysinxcosxsinx+cosx 的最大值是_。2.设 f(x 1)log (4x ) （a1），则 f(x)的值域是_。2a43.已知数列a 中，a 1，a a a a ，则数列通项 a _。nn1n1n4.设实数 x、y 满足 x 2xy10，则 xy 的取值范围是_。25.方程 3 的解是_ 。16.不等式 log (2 1) log (2 2)2 的解集是_。2x2x1【简解】1 小题：设 sinx+cosxt , ，则 y t ，对称轴221t1，当 t ，y ；max2 小题：设 x 1t (t1
14、)，则 f(t)log -(t-1) 4，所以值域为(,log 4；2 a2 a3 小题：已知变形为 1,设 b ，则 b 1,b 1(n1)(-1)1ann11nn，所以 a ；4 小题：设 xyk，则 x 2kx10, 4k 40,所以 k1 或 k1；225 小题：设 3 y，则 3y 2y10,解得 y ，所以 x1；36 小题：设 log (2 1)y，则 y(y1)0，求 f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a 的最大值和最小值。2【解】 设 sinxcosxt，则 t- , ，由(sinxcosx) 12sinxcosx 得：sinxcosx2 t21 f(x)g(
15、t) (t 2a) （a0），t- ,21t- 时，取最小值：2a 2 a2当 2a 时，t ，取最大值：2a 2 a ；1当 00241()a21a2()a142恒成立，求 a 的取值范围。（87 年全国理）y, , x299【分析】不等式中 log 、 log 、log 三项有何联系？进行对241()a21a2()a142数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。【解】 设 log t，则 log log 3log 3log22()28()2a13t ，log 2log 2t，21a()a142a代入后原不等式简化为（3t）x 2tx2t0，它对一切实数 x 恒成立，所以：，解得 t0 恒成
16、立，求 k 的范围。()192()62【分析】由已知条件 1，可以发现它与 a b 1 有相似之处，y2于是实施三角换元。【解】由 1，设 cos， sin，()x192()62x3y4即： 代入不等式 xyk0 得：y34cosin 3cos4sink0，即 k0 (a0)所表示的区域为直线 axbyc0 所分平面成两部分中含 x 轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上 xyk0 的区域。即当直线xyk0 在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，1691422()()消元后由0 可求得 k3,所以 k0)，则 f(4)的值为_。3A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4123232. 函数 y(x1) 2 的单调增区间是_。4A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-1yxxyk0k 平面区域
