1、数学（理科）参考答案及评分标准 第 1 页（共 7 页）长春市普通高中 2016 届高三质量监测（三）数学(理科)参考答案及评分参考一、选择题(本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1. B 2. C 3. B 4. B 5. B 6. C7. A 8. D 9. A 10. B 11. D 12. B简答与提示：1. 【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题. 【试题解析】B 由题意可知 ，所以 . |12x|12Ax故选 B.2. 【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】C 复数 ，所以 . 故选 C.2zi1
2、2()5zi3. 【命题意图】本题主要考查平面向量的运算性质. 【试题解析】B 由 得 ，故选 B.(,)ab|5ab4. 【命题意图】本题考查分段函数及指数、对数运算，是一道基础题. 【试题解析】B . 故选 B.1()2,54ff5. 【命题意图】本题考查古典概型，属于基础题. 【试题解析】B 由题意， 的所有可能为,xy(1,6)25,(34),(52),61共 6 种，其中满足 的有 4 种，故概率为 . 故选 B.26. 【命题意图】本题考查三角函数定义及恒等变换. 【试题解析】C 由三角函数定义 ，故25sin,cos. 故选 C.4sin2cosinco7. 【命题意图】本题主要
3、考查四棱锥的体积，考查空间想象能力，属于基础题.【试题解析】A 该几何体可以看成由两个四棱锥组成，每个四棱锥的底面面积为9，高为 3，故其体积为 9，所以整个几何体体积为 18. 故选 A.8. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图象及性质，是一道基础题. 【试题解析】D 由题可知， ，从而 ，则该函数在3()sin2)3fx的最小值为 . 故选 D.0,229. 【命题意图】本题考查程序框图及进位制，属基础题.【试题解析】A 经计算得 . 0123450121b故选 A.10. 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质与圆切线的性质，是一道中档题.【试题解析】B 由题可知， ，由22|,|M
4、FFab数学（理科）参考答案及评分标准 第 2 页（共 7 页），有 ，整理得 ，所以离心率 . 故12MF221|4FMc2ba5e选 B.11. 【命题意图】本题主要考查解三角形正弦定理的应用，是一道中档题. 【试题解析】D 如图，由题可知， ，在90BADCAD中， ，在 中，ABsinsicoA，所以 ，即 ，所以siCCinsisin2iBC或 ，则此三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选 D. 212. 【命题意图】本题考查函数导数运算、导数与单调性关系、奇偶性等综合应用，是一道较难题. 【试题解析】B 由题可知当 时， ，从而(0,1)x22()ln1)()xfxf，有函数222
5、()ln1)()ln0fxf在 上单调递增，由函数 为偶函数，(yx, 2()l)yfx所以其在 上单调递减，由于 时 ，所以,0)(1,),xn10等价于 ，由 ，故 的解集为()fx2()ln0yf02ff或 . 故选 B.1|,2二、填 空 题 (本 大 题 包 括 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 )13. 4 14. 15. 64 16. yx43简答与提示：13. 【命题意图】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题. 从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查. 【试题解析】令 ，根据可行域及 的几何意义，可确定最优解为 ，2zxyz(2
6、,0)从而 的最大值为 4. 2xy14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义，是一道中档题. 【试题解析】由题意 ， ，从而曲线在点 处的切线(0,)P(,(0)1xfefP方程为 .15. 【命题意图】本题考查椭圆的简单几何性质和平面向量的基本运算，考查数形结合思想，是一道中档题. 【试题解析】由题意 ，由 ，有 ，NMKKN2MK从椭圆的简单几何性质可得，当 点为 时 最大，故 的最(6,0)2N大值为 64.16. 【命题意图】本题涉及球内接四棱锥体积运算，需要借助导数进行运算求解，是一道较难题. 数学（理科）参考答案及评分标准 第 3 页（共 7 页）【试题解析】由球的几何性质可设四
7、棱锥高为 ，从而h，有2321()()3PABCDVh，可知当 时， 体积最大. 44h43PABCDV三、解答题(本大题必做题 5 小题，三选一选 1 小题，共 70 分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查数列递推关系、等比数列、等差数列前 项和，对考n生的化归与转化能力有较高要求. 【试题解析】解：(1) 证明：由 知 ，431na)1(nna由 ，则数列 是以 为首项， 为公比的等比数，01na41n524列. (6 分)(2) 由(1)知 ，设 的前 项和为 ，nan1)(log2)1(log2nanT2Tn，|log(1)|nba当 时， ，5220,TSn当 时
8、，651)( )(logl2556TaSnn综上得 . (12 分)6,01218. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，包括茎叶图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 本题主要考查学生对数据处理的能力.【试题解析】(1) 女生立定跳远成绩的中位数 cm （3 分）5.1628(2) 男生中成绩 “合格”和“不合格”人数比为 ，用分层抽样的方法抽取 6 个4:人，则抽取成绩“合格”人数为 4 人； （6分）(3) 依题意， 的取值为 0，1，2，则X， ，75)0(218CP15380)(2CXP15328)2(08CXP，因此， 的分布列如下： X0数
9、学（理科）参考答案及评分标准 第 4 页（共 7 页）P 1751538015328 （12 分）92380)( XE19. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解：(1) 过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，MEFPNFDQ连接 . 由题意，平面 平面 ，所以 平面 PQCBDAMPEA且 ，因为 ，所以 平面 ，所以2FBEM, C，由 ，所以 平面 ，又 ，所以NNQ12，即 ，则 ，由 平面 ，32CP,/ /PQNADFE平面 ，所以 平面
10、（6 分）PQADFEM/ADFE(2) 以 为坐标原点， 方向为 轴， 方向为 轴，xy方向为 轴，建立如图所示坐标系. 由题意，z )23,0(),30(),012(),CM平面 的法向量为平面 的法向量，NB即 ，在平面 中，),(1nFA，即)2,0(2FA),1(2n则 ，所以二面角 的余弦值为 . (12 分)93cosMN9320. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解：(1) 设 ，有 ，将 代入 ，得 ，),(
11、yx)2,(yxPyx2yx42从而点 的轨迹 的方程为 . （4 分）E42(2) 设 ，联立 ，得 ，),(),(21ByxAk50162k则 ，因为 ，所以06421k4,21xyxy|16)(8|4| 21121 kkxMF DECABNxyz数学（理科）参考答案及评分标准 第 5 页（共 7 页）因为 不同于点 ，所以 ，则,ABN81k1)2(|21k故 的取值范围是 . (12 分)21k),21. (本小题满分 12 分)【命题意图】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值等情况. 对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解
12、(1) 由题意得 ，若函数 存在单1()(sinco)xfeax()fx调减区间，则 即 存在取值1()sinco0xfeais0区间，即 存在取值区间，所以 . (6 分)2sin4a2(2) 当 时，011(),()(sinco)xxffe21(1)cosi(4xfx 由 有 ，从而 ，,230,2xs)0要证原不等式成立，只要证 对 恒成立，1in(4xxe 21,x首先令 ，由 ，可知，)()(12exg 2)1xeg当 时 单调递增，当 时 单调递减，,),(g所以 ，有0)2()()(12x 12x构造函数 ， ，4sinxh ,因为 ，)co(2)(x )4cos(2(x可见，在
13、 时， ，即 在 上是减函数，0,10xh)h0,1在 时， ，即 在 上是增函数，,)(,所以,在 上， ，所以 .2, )minx)(xg所以， ，等号成立当且仅当 时，2)4si(0综 上 ， 由 于 取 等 条 件 不 同 ，21si()xex故 ，所以原不等式成立. (12 分)sin()0数学（理科）参考答案及评分标准 第 6 页（共 7 页）22. (本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到切割线定理以及三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解(1) 由 可知， ，在 中，则BCDBACDAB，因此 ； (5 分)
14、ABDMAM(2) 由 可知 ，又由(1) 可知 ，则P P，由题意 ，可得 ，则CBBBAP，又 ，即 ，ADADCC又 为圆 的切线，则 ，因此 ，OB即 . (10 分)23. (本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解(1) 已知曲线 的标准方程为 ，C214xy则其左焦点为 ，则 ，(2,0)m将直线 的参数方程 与曲线 的方程 联立，l 2xtyt214xy得
15、 ，则 . (5 分)20t12|FAB(2) 由曲线 的方程为 ，可设曲线 上的定点C24xC(23cos,inP则以 为顶点的内接矩形周长为P，4(23cosin)16si()0)3因此该内接矩形周长的最大值为 . (10 分)24. (本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想. 【试题解析】(1) 令 ，则 ，1,()|1|2|32,xfxx1()fx由于 使不等式 成立，有 . (5 分)0xR|t |tTt数学（理科）参考答案及评分标准 第 7 页（共 7 页）(2) 由(1)知， ，3logl1mn根据基本不等式 332log2mn从而 当且仅当 时取等号，2n再根据基本不等式 当且仅当 时取等号，63所以 的 最 小 值 为 6. (10 分)
