1、高三数学答案 第 1 页 共 8 页南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.1 21 31200 41 5 66 7 23(,28 9 104034 11 12 1324 1410034(0,49,)二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15证明：（1）因为 是直三棱柱，所以 ，且 ，1ABC1/AB1AB又点 分别是 的中点，所以 ，且 ,MN, 1MN/所以四边形 是平行四边形，从而 4 分1 /又 平面 ， 平面 ，所
2、以 面 6 分11C1C（2）因为 是直三棱柱，所以 底面 ，而 侧面 ，11所以侧面 底面 AB又 ，且 是 的中点，所以 CAB则由侧面 底面 ，侧面 底面 ，1 1，且 底面 ，得 侧面 8MABCM1分又 侧面 ，所以 101AB11分又 ， 平面 ，且 ，, 1AC所以 平面 1211C分又 平面 ，所以 14 分AM1AB16解：（1）因为 ，则由正弦定理，得 2 分52cb5sinsi2B又 ，所以 ，即 4CBsinsi4con分又 是 的内角，所以 ，故 6 分Asi0B5s（2）因为 ， 所以 ，则由余弦定理，CcobAaC得 ，得 10222bcab分从而 ， 12 分2
3、22()35osBcc又 ，所以 024sinosB高三数学答案 第 2 页 共 8 页从而 14 分3242cos()cossin44510BB17解：（1）在图甲中，连接 交 于点 设 ，MOEFTOEFMR在 中，因为 ，所以 ，则 RtOET1602 2RTO从而 ，即 . 2 分2R故所得柱体的底面积 OEFSS扇 形. 4 分214sin1033R又所得柱体的高 ，EG所以 .VS6答：当 长为 1 分米时，折卷成的包装盒的容积B为 立方分米. 6 分643（2）设 ，则 ，所以所得柱体的底面积Ex2Rx. OEFSS扇 形 2214sin0(3)x又所得柱体的高 ，6G所以 ，其
4、中 . 10 分V328()()x令 ，则由 ，32(),0fxx263(2)0fxx解得 . 12 分列表如下： (,) (,3)()fx 0 增 极大值 减所以当 时， 取得最大值.2x答：当 的长为 2 分米时，折卷成的包装盒的容积最大 . 14 分BE18解：（1）由 ，得直线 的方程为 23(,)(,0)NQNQ32yx分令 ，得点 的坐标为 0x,所以椭圆的方程为 4 分213xya将点 的坐标 代入，得 ，解得 N(,)2223()1a24a所以椭圆 的标准方程为 8 分C143xy（2）方法一：设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 BM(0)kBM3ykx在 中，令 ，得 ，而
5、点 是线段 的中点，所以 3ykxyPxQOP2QkA DCBEGFOM NHT高三数学答案 第 3 页 共 8 页所以直线 的斜率 10 分BN0(3)2BNQkk联立 ，消去 ，得 ，解得 2314yxy2(34)830kx2834Mkx用 代 ，得 12 分k26Nx又 ，所以 ，得 14 分2DM()MNx23MNx故 ，又 ，解得 2831346kk06k所以直线 的方程为 16 分Byx方法二：设点 的坐标分别为 ,N12(,),y由 ，得直线 的方程为 ，令 ，得 (03)13x0y13Pxy同理，得 2Qxy而点 是线段 的中点，所以 ，故 10 分OP2PQx1233xy又
6、，所以 ，得 ，从而 ，2DNM212()21031243y解得 12 分2143y将 代入到椭圆 C 的方程中，得 2143xy 221(43)197xy又 ，所以 ，即 ，2211()x21214()(3)397y21330y解得 （舍）或 又 ，所以点 的坐标为 14 分3y110xM4(,)故直线 的方程为 16 分BM632y19解：（1）由题意，可得 ，2()nnadad化简得 ，又 ，所以 . 4 分2(1)0d1（2）将 代入条件，可得 ，解得 ，3,4a40所以 ，所以数列 是首项为 1，公比 的等比数列，所以 . 6 分21nnnq12na高三数学答案 第 4 页 共 8
7、页欲存在 ，使得 ，即 对任意 都成立，3,7r12nmr12nm*N则 ，所以 对任意 都成立. 8 分12n7*N令 ，则 ，1nb116822nnnb所以当 时， ；当 时， ；当 时， 89b1nb所以 的最大值为 ，所以 的最小值为 . 10 分n98m8（3）因为数列 不是常数列，所以 a2T若 ，则 恒成立，从而 ， ，所以 ，2T2n31a42a2211()a所以 ，又 ，所以 ，可得 是常数列矛盾1()02n所以 不合题意. 12 分若 ，取 （*） ，满足 恒成立 14 分3T,231(),nkaN3na由 ，得 21321()7则条件式变为 nn由 ，知 ；2)72231
8、31()kkaa由 ，知 ；(1由 ，知 2132231321kk所以，数列（*）适合题意所以 的最小值为 . 16T分20解：（1）由 ，得 ，又 ，所以 ，.()lnfx(1)0f1()fx()1f当 时， ，所以 ，所以 . 20cbga2bgagab分因为函数 与 的图象在 处有相同的切线，()fx1x所以 ，即 ，解得 . 41()gf0ab2ab分（2）当 时，则 ，又 ，设 ，01x0()fx3a0()tfx则题意可转化为方程 在 上有相异两实根 6 分()act,12,x即关于 的方程 在 上有相异两实根 2()t ()高三数学答案 第 5 页 共 8 页所以 ，得 ，2120
9、3()4()03acttxa23()4()0act所以 对 恒成立 8 分()ct(0,)(,3)a因为 ，所以 （当且仅当 时取等号） ，022 32a又 ，所以 的取值范围是 ，所以 t2(3)at-(,)c故 的最小值为 . 10 分c（3）当 时，因为函数 与 的图象交于 两点，1afx(g,AB所以 ，两式相减，得 . 12 分122lnbxc 2112ln()xb要证明 ，即证 ，11xbx21121221l()xxx即证 ，即证 . 14 分21ln21ln令 ，则 ，此时即证 21xtt令 ，所以 ，所以当 时，函数 单调递增()lnt2()0tt1t()t又 ，所以 ，即 成
10、立；01ln1lnt再令 ，所以 ，所以当 时，函数 单调递减，()lmtt()mt t()mt又 ，所以 ，即 也成立1()l0lt综上所述， 实数 满足 . 16 分12,x1212xbx附加题答案21 （A）解：如图，连接 ， ，AEO因为直线 与 相切于点 ，所以 ，DDE又因为 垂直 于 ，所以 ，所以 ，/AOE在 中 ，所以 ， 5 分O由得 ，即 ，F又 ， ，F所以 ，所以 ，又 ，所以 ，AE44即 到直径 的距离为 4. 10 分B（B）解：设 是圆 上任意一点，则 ，0,Pxy21y201xyA BEDFO第 21(A)图高三数学答案 第 6 页 共 8 页设点 在矩阵
11、 对应的变换下所得的点为 ，则 ，0,PxyM,Qxy02 1xy即 ，解得 ， 5 分02012xy代入 ，得 ，即为所求的曲线方程. 10 分2x24（C）解：以极点 O 为原点，极轴 为 轴建立平面直角坐标系，x由 ，得 ，cos()13(cossin)13得直线的直角坐标方程为 5 分20y曲线 ，即圆 ，r2xr所以圆心到直线的距离为 13d因为直线 与曲线 （ ）相切，所以 ，即 . 10 分cos()13r0rd1（D）解：由柯西不等式，得 ，22223()1()(1)3xyxy即 24()()3xy而 ，所以 ，所以 ， 5 分124xy3xy由 ，得 ，所以当且仅当 时， 3
12、2xyxy36,26xymax2()3y所以当 取最大值时 的值为 . 10 分x3222解：（1）因为 是菱形，所以 又 底面 ，以 为原点，直线ABCDACBDOPABCDO分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示空间直角坐标系,OPyz则 , , , , (20)(1)(04)(0)(1,2)M所以 ， ， ，120， |5|6M则 3cos, 6|5ABP故直线 与 所成角的余弦值为 . 5 分0（2） ， (2,10)AB(1,2)设平面 的一个法向量为 ，M,nxyzMA BCDOP第 22 题图x yz高三数学答案 第 7 页 共 8 页则 ，得 ，令 ，得 ， 0nABM20xyz
13、2x4y3z得平面 的一个法向量为 (,43)n又平面 的一个法向量为 ，所以 ， ， PC1OBnOB|29n|1OB则 .cos, 29|nB故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . 10 分AM42923解：（1）由条件， ，01211rnnnnfCC在中令 ，得 1 分1n在中令 ，得 ，得 2 分201226f 3f在中令 ，得 ，得 3 分3333010f（2）猜想 = （或 = ） 5 分f21nf12n欲证猜想成立，只要证等式 成立012rnnnCC方法一：当 时，等式显然成立，当 时，因为 ，n 1!(1)!()()r rn nrr（ ）故 111()r rnC故只需证明
14、0 112n rnnnCCC即证 01121n rn而 ，故即证 rr01112 rnnnn由等式 可得，左边 的系数为 1()()nxxx2而右边 ，1n01210121n nn nnxCx 所以 的系数为 n0rnCCC由 恒成立可得成立.211()()nxx综上， 成立. 10 分f方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有 个小球，其中 n 个是编号为 1，2，n 的白球，其余21n1 个是编号为 1，2，n1 的黑球，现从袋中任意摸出 n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有 个黑球（ 个白球）的 n 个小球的组合的个数为 ， ，由分类计数原rr1rC0r理有从袋中任意摸出 n 个小球的组合的总数为 0 11nnn另一方面，从袋中 个小球中任意摸出 n 个小球的组合的个数为 2故 ，即成立. 余下同方法一. 10 分01121n nnnCC方法三：由二项式定理，得 02() nnxxx两边求导，得 12111rnC ，得 210 2 1()( )( )n n rnnnx Cx 左边 的系数为 21nC高三数学答案 第 8 页 共 8 页右边 的系数为nx12111nnrnnCCC102r 0211rnnC由恒成立，可得 01212n rnnn故 成立. 10 分21nf
