1、微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher1函数的奇偶性、周期性一、 知识要点1、 函数奇偶性的定义：设函数 ，任取 ，若有yfxDx，则称函数 为偶函数；若 ，则称函数fxfffx为奇函数.y2、奇、偶函数的性质（1）函数 是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称；fx（2）奇函数 的图像关于原点对称，偶函数 的图像关于 轴对称；f gxy（3）在公共定义域内，两奇函数之积（商）为偶函数；两偶函数之积（商）也为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数（取商时分母不可为零） ；（4）若 是具有奇偶性的单调函数，则奇函数在正负对称区间上的单调性相同，fx偶函数在正负对称区间上的单调
2、性相反；（5）若函数 的定义域关于原点对称，则 既是奇函数又是偶函数的充要条fxfx件是 0fx3、函数的周期性（1）对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得对于 定义域内fxDTfx任意 ，都有 ，那么这个函数 叫做周期函数，常数 叫做函数xTfxT的周期f（2）对于每一个周期函数来说，它的周期可有无穷多个，对于周期函数 ，如果fx微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher2在其所有的周期中存在最小的一个正数，那么这个最小的正数叫做这个函数的最小正周期二、 例题精讲例 1、 判断函数的奇偶性：（1） ；（2） ；（3） ；1xf1lgxf211fxx（4） ；（5） ；（6）132
3、xf21fx22,0,0,3,fxx答案：（1）奇；（2）偶；（3）既奇又偶；（4）偶；（5）非奇非偶；（6）奇微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher3例 2、 （1） 是 上的奇函数，当 时， ，求fxR,0x31fx时 的解析式；x（2）设 为奇函数， 为偶函数，且 ，fgx210,1fxgx求 和 的解析式xg答案：（1） ；331,0,0,xxf（2） ；10,1fxx10,1gxx例 3、已知 ， 是二次函数，且 为奇函数，当23gxfxfxg时， 的最小值为 1，求 的表达式1,xf f答案： 或 23fx23fx例 4、已知定义在 上的奇函数 ，满足 ，且在区间 上
4、Rfx4fxfx0,2是增函数，则（ ）微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher4A、 B、25180fff80125fffC、 D、25fff25fff答案：D例 5、已知函数 以任意实数 均有 ，fx,xy22xyffyff，且存在非零常数 使 0fc0f（1） 求 的值；f（2） 讨论函数 的奇偶性；fx（3） 求证： 是周期函数 f答案：（1） ；（2）偶函数；（3）提示：证明01f4fcxf*例 6、已知函数 和 的图像关于原点对称，且 fxg2fx（1） 求函数 的解析式；（2） 解不等式 ；1gxfx（3） 若 在 上是增函数，求实数 的取值范围h, 微信公众号：数学
5、第六感 微信号：AA-teacher5答案：（1） ；（2） ；（3）gxx1,0*例 7、对于函数 ，若存在实数 ，使 成立，则称 为函数的不动fx0x0fx0x点（1）已知函数 21fxabxa若对任意实数 ，函数 恒有两个相异的不动点，求实数 的取值范围；bf a在的条件下，若 的图像上 两点的横坐标都是函数 的不动点，yfxAB、 fx且 两点关于直线 对称，求实数 的最小值；AB、 21kab（2）命题“若定义在实数集 上的奇函数 存在有限个相异的不动点，则不动点Rgx的个数是奇数个”是否正确？若正确则加以证明，若不正确请举一反例加以说明答案：（1） ； ；（2）提示：证明非零不动点
6、必成对出现0,1min4b微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher6*例 8、 （1）已知函数 满足： ，fx14ffxyfxfy，则 ,xyR201（2）如图放置的边长为 1 的正方形 沿 轴滚动设顶PABCx点 的轨迹方程是 则函数 的最小正,Pxyyfxf周期为 ； 在其两个相邻零点间的图像与 轴所围区域的面积为 答案：（1） ；（2）4； 1三、 课堂练习1、已知对于任意实数 ，函数 满足 ，若方程 有 2013xffxf0fx个实数解，则这 2013 个实数解之和为 答案：02、设 是定义在 上的奇函数，若当 时， ，则fxR0x3log1fx微信公众号：数学第六感 微信
7、号：AA-teacher7答案： 13、已知函数 是奇函数，当 时， ，设 的反函数是yfx0x31xffx，则 ygx8答案： 24、已知 的定义域均为 ， 是偶函数， 是奇函数，且fxg、 Rfxgx，则 ， 12ffx答案： ，xx5、设函数 的定义域关于原点对称，且适合下列三个条件：fx对于定义域内的 都有 ；12、 1212fxffx存在常数 ，使 ；0af对于 ，有 试求它的一个周期： ,2x0fx答案： 4a6、设 是定义在 上的函数，它具有奇偶性，且 ，则fxR2fxf的最小正周期是 答案：若偶函数则为 4，若奇函数则为 8微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher8
8、四、 课后作业一、 填空题1、若函数 （常数 ）是偶函数，且它的值域为2fxabx,abR，则该函数的解析式 ,4f答案： 2x2、若函数 的图像关于直线 对称，则 323,yxaxab1xb答案：63、判断函数的奇偶性： 是 函数，212logfxx是 函数1xag0答案：奇，偶4、如果函数 是奇函数，则 23,0,xyffx答案： 微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher95、写出函数 的一个解析式，使 同时具有下述各性质：是定义在 上的fxfxR偶函数；最小正周期为 6 的周期函数；其图像经过定点 ，则 3,2fx答案： （答案不唯一）2cos3x6、设 是定义在 上的奇函数
9、，且 的图像关于直线 对称，则fxRyfx12x12345ff答案：0二、选择题7、设函数 是定义在 上的以 5 为周期的奇函数，若 ，fxR21f，则 的取值范围是（ ）23afaA、 B、,0,2,03,C、 D、,2,答案：A8、定义在 上的函数 既是奇函数，又是周期函数， 是它的一个正周期若将RfxT方程 在闭区间 上的根的个数记为 ，则 可能为（ ）0fx,TnA、0 B、1 C、3 D、5微信公众号：数学第六感 微信号：AA-teacher10答案：D9、设偶函数 对任意 ，都有 ，且当 时，fxR13fxfx3,2，则 的值是（ ）2fx13.5fA、 B、 C、 D、7271515答案：D三、解答题10、设 ， aR21xaf R（1）确定 的值，使 为奇函数；fx（2）当 为奇函数时，对于给定的正实数 ，解关于 的不等式fxkx12logfk答案：（1） ；（2）当 时，解集为 ；当 时，解集为1a02k1,k2,11、已知集合 ， |21,MfxfxfxRsin3xg
