1、数学社活动材料（平面几何）第二讲 外心一、外心的基本性质1.有关于外心的角度计算2.S=abc/4R二、题目1.如图，在锐角三角形 ABC 中，ABAC,AD 是边 BC 上的高，P 为线段 AD 上的一点，过 P 做PEAC 于 E，PFAB 于 F，O1 ，O2 分别是三角形 BDF,三角形 CDE 的外心，求证：O1，O2，E,F 四点共圆的充要条件是 P 为三角形 ABC 的垂心。2. 如图，设 D 为锐角三角形 ABC 的边 BC 上一点，以线段 BD 为直径的圆分别交直线 AB,AD 于点X,P(异于点 B,D)，以线段 CD 为直径的圆分别交直线 AC,AD 于 Y,Q(异于点
2、C,D)，过点 A 做PX,QY 的垂线，垂足分别为 M,N，求证AMNABC 的充要条件为直线 AD 过ABC 的外心。3.在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，O,O1，O2 分别是ABC,ABD,ADC,的外心，求证：OO1=OO24.设 D 为ABC 边 BC 上的一点，但不是其中点，设 O1，O2 分别是ABD 和ADC 的外心，求证：ABC 的中线 AK 的垂直平分线过线段 O1O2 的中点5.四边形 ABCD 内接于圆 O，对角线 AC,BD 交于点 P，设三角形 ABP,BCP,CDP,DAP 的外接圆圆心分别为 O1，O2,O3，O4，求证：OP,O1O3，O2O4 三直线共点。(另：将条件中所有三角形中的 P 换为 O，结论不变，如若你有兴趣请课下证明 )6.（密克定理）在ABC 中，一直线于 BC 的延长线，AC,AB,分别交于 D,E,F 设AEF,BDF,CDE,ABC 的外心分别为 O1，O2，O3 ，O4，求证：（1）圆 O1,圆 O2，圆 O3，圆 O4 交于一点 G（2）O1O2O3ABC(3)O1,O2,O3,O4,G 共圆
