1、 第 1 讲 坐标系与参数方程 (选修 4 4) 高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用 .以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置 关系等解析几何知识 . 真 题 感 悟 (2016全国 卷 )在直角坐标系 xOy中，曲线 C1 的参数方程为 x acos t，y 1 asin t(t 为参数 ， a0).在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 4cos . (1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； (2)直线
2、 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 0 2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a. 解 (1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2 (y 1)2 a2， C1 是以 (0， 1)为圆心， a为半径的圆 . 将 x cos ， y sin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 2 2sin 1 a2 0. (2)曲线 C1， C2 的公共点的极坐标满足方程组 2 2sin 1 a2 0， 4cos . 若 0，由方程组得 16cos2 8sin cos 1 a2 0，由已知 tan 2，可得16cos2 8sin cos 0，从而 1 a2
3、 0，解得 a 1(舍去 )， a 1. a 1 时，极点也为 C1， C2 的公共点，在 C3上 . 所以 a 1. 考 点 整 合 1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点， x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位 .设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐 标 、 极 坐 标 分别 为 (x ， y) 和 ( ， ) ，则 x cos ，y sin ，2 x2 y2，tan yx（ x 0） . 2.直线的极坐标方程 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点： ； (2)直线过点 M(a， 0)(a0)且垂直于极轴： cos a； (3)直线过 M b
4、， 2 且平行于极轴： sin b. 3.圆的极坐标方程 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为 r： r； (2)当圆心位于 M(r， 0)，半径为 r： 2rcos ； (3)当圆心位于 M r， 2 ，半径为 r： 2rsin . 4.直线的参数方程 经过点 P0(x0， y0)，倾斜角 为 的直线的参数方程为 x x0 tcos ，y y0 tsin (t 为参数 ). 设 P 是直线上的任一点，则 t 表示有向线段 P0P 的数量 . 5.圆的参数方程 圆心在点 M(x0， y0)，半径为 r 的圆的参数方程为 x x0 rcos ，y y0 rsin ( 为参数
5、，0 2). 6.圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的参数方程为 x acos ，y bsin ( 为参数 ). (2)双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的参数方程为 x acos ，y btan ( 为参数 ). (3)抛物线 y2 2px(p0)的参数方程为 x 2pt2，y 2pt (t 为参数 ). 热点一 极坐标与直角坐标的互化及极坐标的应用 【例 1】 (2015全国 卷 )在直角坐标系 xOy中，直线 C1： x 2，圆 C2： (x 1)2 (y 2)2 1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . (1)求 C1，
6、 C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 4( R)，设 C2 与 C3 的交点为 M， N，求 C2MN的面积 . 解 (1)因为 x cos ， y sin ，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2， C2 的极坐标方程为 2 2cos 4sin 4 0. (2)将 4代入 2 2cos 4sin 4 0，得 2 3 2 4 0，解得 1 2 2，2 2.故 1 2 2，即 |MN| 2. 由于 C2 的半径为 1，所以 C2MN 为等腰直角三角形， 所以 C2MN 的面积为 12. 探究提高 解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐
7、标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标 .要注意题目所给的限制条件及隐含条件 . 【训练 1】 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos 3 1， M， N 分别为曲线 C 与 x 轴， y轴的交点 . (1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求点 M， N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 . 解 (1) cos 3 1， cos cos 3 sin sin 3 1. 又 x cos ，y sin ， 12x 32 y 1， 即曲线 C 的直角坐标方程为 x
8、 3y 2 0. 令 y 0，则 x 2，令 x 0，则 y 2 33 ， M(2， 0)， N 0， 2 33 ， M的极坐标为 (2， 0)， N 的极坐标为 2 33 ， 2 . (2)MN 连线的中点 P 的直角坐标为 1， 33 ，直线 OP 的极角为 6， 直线 OP 的极坐标方程为 6( R). 热点二 参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用 【例 2】 (2014新课标全国 卷 )已知曲线 C： x24y29 1，直线 l： x 2 t，y 2 2t (t 为参数 ). (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l的普通方程； (2)过曲 线 C 上任一点 P 作与 l夹角为 3
9、0的直线，交 l于点 A，求 |PA|的最大值与最小值 . 解 (1)曲线 C 的参数方程为 x 2cos ，y 3sin ( 为参数 ). 直线 l的普通方程为 2x y 6 0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ， 3sin )到 l的距离为 d 55 |4cos 3sin 6|. 则 |PA| dsin 30 2 55 |5sin( ) 6|，其中 为锐角，且 tan 43. 当 sin( ) 1 时， |PA|取得最大值，最大值为 22 55 . 当 sin( ) 1 时， |PA|取得最小值，最小值为 2 55 . 探究提高 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的
10、消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式 (三角的或代数的 )消去法，参 数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围 . 【训练 2】 已知曲线 C1： x 2 cos t，y 1 sin t (t 为参数 )， C2： x 4cos ，y 3 sin ( 为参数 ). (1)化 C1， C2 的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线 . (2)过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为 4的直线 l交曲线 C1 于 A， B两点，求 |AB|. 解 (1)C1： (x 2)2 (y 1)2 1， C2： x216y29 1. 曲线 C1 为圆心是 ( 2， 1)，半径
11、是 1 的圆 . 曲线 C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长轴长是 8，短轴长是 6 的椭圆 . (2)曲线 C2 的左顶点为 ( 4， 0)，则直线 l 的参数方程为x 4 22 s，y 22 s(s 为参数 ). 将其代入曲线 C1，整理可得： s2 3 2s 4 0， 设 A， B对应参数分别为 s1， s2，则 s1 s2 3 2， s1s2 4. 所以 |AB| |s1 s2| （ s1 s2） 2 4s1s2 2. 热点三 极坐标与参数方程的综合应用 【例 3】 (2016全国 卷 )在直角坐标系 xOy中，圆 C 的方程为 (x 6)2 y2 25. (1)以坐标原点为极
12、点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l的参数方程是 x tcos ，y tsin (t 为参数 )， l与 C 交于 A、 B两点， |AB| 10，求 l的斜率 . 解 (1)由 x cos ， y sin 可得圆 C 的极坐标方程 2 12cos 11 0. (2)在 (1)中建立的极坐标系中，直线 l的极坐标方程为 ( R). 设 A， B所对应的极径分别为 1， 2，将 l的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得2 12cos 11 0. 于是 1 2 12cos ， 12 11. |AB| |1 2| （ 1 2） 2 412 144cos2 44.
13、 由 |AB| 10得 cos2 38， tan 153 . 所以 l的斜率为 153 或 153 . 探究提高 高考中该部分的试题是综合性的，题目中既有极坐标 的问题，也有参数方程的问题，考生既可以通过极坐标解决，也可以通过直角坐标解决，但大多数情况下，把极坐标问题转化为直角坐标问题，把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题 .要重视把极坐标问题化为直角坐标问题，把参数方程化为普通方程的思想意识的形成，这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误 . 【训练 3】 (2016衡水大联考 )以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立 极坐标系，两种坐
14、标系中取相同的单位，已知圆 C 的参数方程为x 2cos ，y 2sin ( 为参数 )，直线 l的极坐标方程为 4sin cos .点 P 在 l上 . (1)过 P 向圆 C 引切线，切点为 F，求 |PF|的最小值； (2)射线 OP 交圆 C 于 R，点 Q在 OP 上，且满足 |OP|2 |OQ|OR|，求 Q点轨迹的极坐标方程 . 解 (1)圆 C 的直角坐标方程为 x2 y2 4. l的直角坐标方程为 x y 4. 当 P 到圆心的距离最小时，切线长 |PF|最小， 由点到直线的距离公式知，圆心 O 到 P 的距离 |OP| 42 2 2 ，|PF| （ 2 2） 2 22 2.
15、 所以 |PF|的最小值为 2. (2)设 P， Q， R是极坐标分别为 (1， )， (， )， (2， ). 则由 |OP|2 |OQ|OR|，得 21 2. 因 1 4sin cos ， 2 2. 故 8（ sin cos ） 2 81 sin 2. 所以， Q点轨迹的极坐标方程是 81 sin 2. 1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决 . 2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程
16、解答 . 3.过定点 P0(x0， y0)，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为 x x0 tcos ，y y0 tsin (t为参数 )， t 的几何意义是 P0P 的数量，即 |t|表示 P0 到 P 的距离， t 有正负之分 .使用该式时直线上任意两点 P1、 P2 对应的参数分别为 t1、 t2，则 |P1P2| |t1 t2|， P1P2的中点对应的参数为 12(t1 t2). 1.已知 P 为半圆 C： x cos ，y sin ( 为参数， 0 )上的点，点 A 的坐标为 (1，0)， O为坐标原点，点 M在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 3. (1)
17、以 O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M的极坐标； (2)求直线 AM的参数方程 . 解 (1)由已知，点 M的极角为 3，且点 M的极径等于 3，故点 M的极坐标为 3， 3 . (2)点 M的直角坐标为 6， 36 ， A(1， 0). 故直线 AM的参数方程为x 1 6 1 t，y 36 t(t 为参数 ). 2.已知直线 l： x m tcos ，y tsin (t 为参数， k， k Z)经过椭圆 C： x 2cos ，y 3sin ( 为参数 )的左焦点 F. (1)求 m 的值； (2)设直线 l与椭圆 C 交于 A， B两点，求 |FA|FB|的最小 值 .
18、解 (1)因为椭圆 C： x 2cos ，y 3sin 的普通方程为x24y23 1， 所以 F( 1， 0). 因为直线 l： x m tcos ，y tsin 的普通方程为 y tan (x m)， 因为 k， k Z，所以 tan 0. 因为 0 tan ( 1 m)，所以 m 1. (2)将直线的参数方程 x 1 tcos ，y tsin 代入椭圆 C 的普通方程 x24y23 1 中，并整理， 得 (3cos2 4sin2)t2 6tcos 9 0. 设点 A， B在直线参数方程中对应的参数分 别为 t1， t2. 则 |FA|FB| |t1t2| 93cos2 4sin2 93 s
19、in2， 当 sin 1 时， |FA|FB|取最小值 94. 3.在直角坐标系 xOy中，曲线 C1 的参数方程为 x 2cos ，y 2 2sin (为参数 )， M是 C1 上的动点， P 点满足 OP 2OM ，点 P 的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程； (2)在以 O为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求 |AB|. 解 (1)设 P(x， y)，则由条件知 M x2， y2 ，由于 M点在 C1 上，所以x2 2cos ，y2 2 2sin ，即 x 4cos ，y 4 4sin . 从
20、而 C2 的参数方程为 x 4cos ，y 4 4sin (为参数 ). (2)曲线 C1 的极坐标方程为 4sin ，曲线 C2 的极坐标方程为 8sin .射线 3与 C1 的交点 A 的极径为 1 4sin3 2 3，射线 3与 C2 的交点 B的极径为2 8sin3 4 3.所以 |AB| |2 1| 2 3. 4.(2015全国 卷 )在直角坐标系 xOy中，曲线 C1： x tcos ，y tsin (t 为参数， t 0)，其中 0 ，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 2sin ， C3： 2 3cos . (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标
21、； (2)若 C1 与 C2 相交于点 A， C1 与 C3相交于点 B，求 |AB|的最大值 . 解 (1)曲线 C2 的直角坐标方程 为 x2 y2 2y 0，曲线 C3 的直角坐标方程为 x2 y2 2 3x 0. 联立 x2 y2 2y 0，x2 y2 2 3x 0， 解得 x 0，y 0 或 x 32 ，y 32.所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为 (0， 0)和 32 ， 32 . (2)曲线 C1 的极坐标方程为 ( R， 0)，其中 0 . 因此 A 的极坐标为 (2sin ， )， B的极坐标为 (2 3cos ， ). 所以 |AB| |2sin 2 3cos | 4
22、sin 3 . 当 56 时， |AB|取得最大值，最大值为 4. 5.在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为x 3 22 t，y 5 22 t(t 为参数 ).在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴 )中，圆 C 的方程为 2 5sin . (1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)设圆 C 与直线 l交于点 A， B.若点 P 的坐标为 (3， 5)，求 |PA| |PB|. 解 法一 (1)由 2 5sin ，得 x2 y2 2 5y 0， 即 x2 (y 5)2 5. (2)将 l的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得
23、3 22 t2 22 t2 5，即 t23 2t 4 0. 由于 ( 3 2)2 4 4 20，故可设 t1， t2 是上述方程的两实根，所以t1 t2 3 2，t1t2 4. 又直线 l过点 P(3， 5)，故由上式及 t 的几何意义得 |PA| |PB| |t1| |t2| t1 t2 3 2. 法二 (1)同法一 . (2)因为圆 C 的圆心为 (0， 5)，半径 r 5，直线 l的普通方程为： y x 35. 由 x2（ y 5） 2 5，y x 3 5得 x2 3x 2 0. 解得 x 1，y 2 5 或 x 2，y 1 5.不妨设 A(1， 2 5)， B(2， 1 5)，又点 P 的坐标为 (3， 5). 故 |PA| |PB| 8 2 3 2. 6.(2016全国 卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x 3cos ，y sin (为参数 )，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2
