1、 2016 年专项练习题集-简单复合函数的导数一、选择题1.函数 ycos3 xsin 的导数为( )xA3sin 3x cos x2xB3sin 3xcos x2xC 3sin3x sinx2xD3sin 3xcos x2x【分值】5 分【答案】A【易错点】解答此类问题常犯两个错误：(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的加法法则。【解题思路】先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导。【解析】 ysin 3x(3x) cos ( )x x3sin 3x cos 3sin
2、3x .121x xcos x2x2.函数 y2 xln(2x1)的导数为( )Aln(2 x1) 14B2ln(2 x1) 2C2 xln(2x1) D. 14【分值】5 分【答案】B【易错点】忽略对复合函数的内层函数求导致误【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的乘法法则。【解题思路】按照导数的乘法法则展开，然后再对展开式中的复合函数求导。【解析】 y2 xln(2x1) (2x)ln(2x1)2 xln(2x1)2ln(2 x1)2 x (2x1)2ln(2 x1) .1143.函数 ycos 2x-sin 2x 的导数是( )A-2 cos2(2x 4)Bcos 2xsin
3、2xCsin 2xcos 2xD -2 cos2(2x 4)【分值】5 分【答案】A【易错点】忽略对复合函数的内层函数求导致误【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的减法法则。【解题思路】按照导数的减法法则展开，然后再对展开式中的复合函数求导。【解析】 y(cos 2xsin2 x)(cos2 x)(sin2 x)-sin2 x(2x)-cos2x(2x)-2 sin2x-2 cos 2x-2 - 2 cos ，故选 A.2( 22cos2x 22sin2x) 2 (2x 4)4.若函数为 f(x)cos 4xsin 4x，则 f( )( )A.2 B. -2 C.1 D.-1【分值
4、】5 分【答案】B【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数。【易错点】不能对函数关系式准确化简致误【解题思路】先应用三角公式化简，再对复合函数求导。【解析】f(x)cos 4xsin 4x(sin 2xcos 2x)(cos2xsin 2x)cos 2x，f(x)(cos 2x)(sin 2x)(2x)-2 sin 2x,f( )=-2.45.曲线 ye 3 x-2 在点(0，-1)处的切线方程为( )A.3x-y-10 B.3x y-10 C.3x y+10 D.3x-y+10【分值】5 分【答案】C【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，
5、做到层次分明，心中有数【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数、导数的几何意义。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。【解析】因为 ye 3 x(3 x)3e 3 x，所以 y|x0 3 ，故切线方程为y+13( x0)，即 3x y+10.二、填空题6.已知函数 f（ x） ，则 f(1)+f(1)= .1（ 2x 1） 3【分值】5 分【答案】C【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及求值。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。【解析】函数 y 可看作函数 y u3
6、 和 u 2x1 的复合函数，1（ 2x 1） 3yx yuux (u3 )(2x1) 6 u4 6(2 x1) 4 .6（ 2x 1） 4f(1)+f(1)=1-6=-5.7.函数 ysin n xcos nx 的导数为 【分值】5 分【答案】 nsinn1 x cos(n1) x【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的乘法法则。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。【解析】 y(sin nx)cos nxsin nx(cos nx) nsinn1 x(
7、sin x)cos nx sinnx(sin nx)(nx) nsinn1 xcosxcos nxsin nxsin nxn nsinn1 x(cos xcos nxsin xsin nx) nsinn1 x cos(n1) x8.曲线 y 在点（ ， ）处的切线的倾斜角为 。x1 1 x 432【分值】5 分【答案】 nsinn1 x cos(n1) x【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的几何意义。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导，求得 的值后再
8、研究切)43(f线的倾斜角。【解析】 y x1 1 xx（ 1 1 x）（ 1 1 x） （ 1 1 x） 1 .x（ 1 1 x）1 （ 1 x） 1 x设 y1 ， u1 x，u则 y yuux (1 )(1 x)u (1) .12u121 x即切线斜率为-1，则切线的倾斜角为 。,)43(f 43三、解答题9求下列函数的导数(1)y ；(2) ye cos x；(3) y5log 2(-2x1)231x【分值】10 分【答案】 （1） （2 ）-e sin xcos x （3）-3x10（ 2x 1） ln 2【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪
9、个是外层函数，做到层次分明，心中有数【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。【解析】(1) 设 y ， u13 x2，2则 y( )(13 x2) (6 x)1 (6 x) 。2123(2)设 ye u， ucos x，则 yx yuuxe u（-cos x）-e sin xcos x.(3)设 y5log 2u， u-2 x1，则 y yuux - - .10uln 210（ 2x 1） ln 210.已知函数 f(x) ，且 f(x)的图象在 x1 处与直线 y2 相切axx2 b(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若 P(x0，
10、y0)为 f(x)图象上的任意一点，直线 l 与 f(x)的图象相切于 P 点，求直线 l的斜率 k 的取值范围【分值】10 分【答案】见解析【易错点】若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的几何意义。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。【解析】 (1)对函数 f(x)求导，得 f(x) .a（ x2 b） ax（ 2x）（ x2 b） 2ab ax2（ x2 b） 2因为 f(x)的图象在 x1 处与直线 y2 相切所以 即 所以 a4， b1，所以 f(x) .f（ 1） 0，f（ 1） 2， ) ab a 0，1 b0，a1 b 2， )4xx2 1(2) 因为 f(x) ，所以直 l 的斜率 k f(x0) 4 ，令4 4x2（ x2 1） 2t ， t(0，1，则 k4(2 t2 t)8 ，所以 k .(t 14)2 12 12， 4
