1、8-2.抽屉原理.题库 教师版 page 1 of 318-2 抽屉原理教学目标学目标抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是：1理解抽屉原理的基本概念、基本用法；2掌握用抽屉原理解题的基本过程；3. 能够构造抽屉进行解题；4. 利用最不利原则进行解题；5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。知识点拨一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理
2、，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。（2）定义一般情况下，把 n1 或多于 n1 个苹果放到 n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个8-2.抽屉原理.题库 教师版 page 2 of 31苹果。我们称这种现象为抽屉原理。三、抽屉原理的解题方案（一） 、利用公式进行解题苹果抽屉商余数余数：
3、（1）余数1 ， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数 ， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里x1n（3）余数0 ， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二） 、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法知识精讲模块一、利用抽屉原理公式解题（一） 、直接利用公式进行解题（1）求结论【例 1】 只鸽子要飞进 个笼子，每个笼子里都必须有 只，一定有一个笼子里有 只鸽子对吗？6512【解析】 只鸽子要飞进 个笼子，如果每个笼子装 只，这样还剩下 只鸽子这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有
4、一个笼子里有 只鸽子所以这句话是正确的2利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉” ，把鸽子看作“苹果” ， （只）把 个苹果放到 个抽屉中，每个抽屉中都要有 个苹果，那么651 12651肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有 只鸽子2【巩固】 把 9条金鱼任意放在 8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼【解析】 在 个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是 条金鱼；还剩下的一条，任意放在这 个鱼缸其中的8 8 8任意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼【巩固】 教室里有 5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这
5、 5名学生中，至少有两个人在做同一科作业【解析】 将 5 名学生看作 5 个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共 4 个抽屉 由抽屉原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有 2 个苹果即至少有两名学生在做同一科的作业【巩固】 年级一班学雷锋小组有 人教数学的张老师说：“你们这个小组至少有 个人在同一月过生13 2日 ”你知道张老师为什么这样说吗？【解析】 先想一想，在这个问题中，把什么当作抽屉，一共有多少个抽屉？从题目可以看出，这道题显8-2.抽屉原理.题库 教师版 page 3 of 31然与月份有关我们知道，一年有 个月，把这 个月看成 个抽屉，这道题就相当于把1212个
6、苹果放入 个抽屉中根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果因此至少有两个同1312学在同一个月过生日【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉” ，什么是“物品” ，解题的关键是制造“抽屉” ，确定假设的“物品” ，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解【巩固】 数学兴趣小组有 13个学生，请你说明：在这 13个同学中，至少有两个同学属相一样【解析】 属相共 个，把 个属相作为 个“抽屉” ， 个同学按照自己的属相选择相应的“抽屉” ，121213根据抽屉原理，一定有一个“抽屉”中有两个或两个以上同学，也就是说至少有两个同学属相一样【巩固】 光明小学有 名 年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？
7、36720【解析】 一年最多有 天，把 天看作 个“抽屉 ”，将 名学生看作 个“苹果” 这样，把36367367个苹果放进 个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果这就说明，至少有 名同2学的生日相同【巩固】 用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同【解析】 五种颜色最多只能涂 个不同颜色的面，因为正方体有 个面，还有一个面要选择这五种颜色中56的任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会被涂上相同的颜色 也可以把五种颜色作为 个“抽屉” ，六个面作为六个物品，当把六个5面随意放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一
8、个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两个面涂色相同【例 2】 向阳小学有 730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【解析】 一年最多有 366 天，可看做 366 个抽屉，730 个学生看做 730 个苹果因为，所以，至少有 11 2（个）学生的生日是同一天7306134 【巩固】 试说明 400人中至少有两个人的生日相同.【解析】 将一年中的 366 天或 天视为 366 个或 个抽屉，400 个人看作 400 个苹果，从最极端的65365情况考虑，即每个抽屉都放一个苹果，还有 个或 个苹果必然要放到有一个苹果的抽屉里，4所以至少有一个抽屉有至少两个苹果，即至少有两人的生日相
9、同.【例 3】 三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩【解析】 方法一：情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的； 情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的；情况三：这三个小朋友，可能其中 男 女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的；128-2.抽屉原理.题库 教师版 page 4 of 31情况四：这三个小朋友，可能其中 男 女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正21确的所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的；方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人
10、的性别是相同的，所以必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩【例 4】 “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等【解析】 假设共有 个小朋友到公园游玩，我们把他们看作 个“苹果” ，再把每个小朋友遇到的熟人数n n目看作“抽屉” ，那么， 个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下 种可能：0，1 ，2，n n其中 0 的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见 个熟人，所以1 共有 个“抽屉” 下面分两种情况来讨论：如果在这 个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上n个熟人，这样
11、熟人数目只有 种可能：0，1，2， ， 这样， “苹果”数( 个小2n2nn朋友)超过“抽屉”数( 种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人1数目相等如果在这 个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有 种可能：n 11，2，3， 这时， “苹果”数( 个小朋友) 仍然超过 “抽屉”数( 种熟人数目) ，nn根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等总 之 ， 不 管 这 个 小 朋 友 各 遇 到 多 少 熟 人 (包 括 没 遇 到 熟 人 )， 必 有 两 个 小 朋 友 遇 到 的 熟 人 数 目 相等 【巩固】 五年级数学小组共有 20
12、名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多【解析】 数学小组共有 20 名同学，因此每个同学最多有 19 个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有 1 个朋友因此，这 20 名同学中，每个同学的朋友数只有 19 种可能：1，2，3， ，19把这 20 名同学看作 20 个 “苹果” ，又把同学的朋友数目看作 19 个“抽屉” ，根据抽屉原理，至少有 2 名同学，他们的朋友人数一样多【例 5】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 整除？3【解析】 因为任何整数除以 ，其余数只可能是 ， ， 三种情形我们将余数的这三种情形看成是三
13、3012个“抽屉” 一个整数除以 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个 “抽屉”里将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以 的余数相3同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除） 这两个数的差必能被 整除3【巩固】 四个连续的自然数分别被 除后，必有两个余数相同，请说明理由3【解析】 想一想，不同的自然数被 除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？把这四个连续的自然数分别除以 ，其余数不外乎是 ， ， ，把这 个不同的余数当作 个012338-2.抽屉原理.题库 教师版 page 5 of 31“抽屉” ，把这 个连续的
14、自然数按照被 除的余数，分别放入对应的 个“抽屉”中，根据抽屉433原理，至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以 的余数相同【例 6】 证明：任取 8个自然数，必有两个数的差是 7 的倍数【解析】 在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数 a、 b， 它们除以自然数 m 的余数相同，那么它们的差 是 m 的倍数 .根据这个性质，本题只需证明这 8 个自然数中有 2 个自然数，ab它们除以 7 的余数相同.我们可以把所有自然数按被 7 除所得的 7 种不同的余数0、1、2、3、4 、5、6 分成七类.也就是 7 个抽屉.任取 8 个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在
15、同一个抽屉中，也就是它们除以 7 的余数相同，因此这两个数的差一定是 7 的倍数【巩固】 证明：任取 6个自然数，必有两个数的差是 5的倍数。【解析】 把自然数按照除以 5 的余数分成 5 个剩余类，即 5 个抽屉.任取 6 个自然数，根据抽屉原理，至少有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以 5 的余数相同，因此它们的差是 5 的倍数。【巩固】 （第八届小数报数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为 10类：个位数字是1的为第 1类，个位数字是 2的为第 2类，个位数字是 9的为第 9类，个位数字是 0的为第 10类 （1）任意取出 6个互不同类的自然数，其中一定有 2个数的和是 10
16、的倍数吗？（2）任意取出 7个互不同类的自然数，其中一定有 2个数的和是 10的倍数吗？如果一定，请煎药说明理由；如果不一定，请举出一个反例【解析】 （1）不一定有例如 1、2、3、4 、5、10 这 6 个数中，任意两个数的和都不是 10 的倍数（2）一定有将第 1 类与第 9 类合并，第 2 类与第 8 类合并，第 3 类与第 7 类合并，第 4 类与第 6 类合并，制造出 4 个抽屉；把第 5 类、第 10 类分别看作 1 个抽屉，共 6 个抽屉任意7 个互不同类的自然数，放到这 6 个抽屉中，至少有 1 个抽屉里放 2 个数因为 7 个数互不同类，所以后两个抽屉中每个都不可能放两个数当
17、两个互不同类的数放到前 4 个抽屉的任何一个里面时，它们的和一定是 10 的倍数【巩固】 证明：任给 12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数 【解析】 两位数除以 11 的余数有 11 种：0 ，1，2，3， 4，5，6 ，7，8 ，9，10，按余数情况把所有两位数分成 11 种 12 个不同的两位数放入 11 个抽屉，必定有至少 2 个数在同一个抽屉里，这2 个数除以 11 的余数相同，两者的差一定能整除 11两个不同的两位数，差能被 11 整除，这个差也一定是两位数（如 11，22） ，并且个位与十位相同 所以，任给 12 个不同的两位数，其中
18、一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数【例 7】 任给 11个数，其中必有 6个数，它们的和是 6的倍数【解析】 设这 11 个数为 ， ， ， ，由 5 个数的结论可知，在 ， ， ， ， 中必有1a231a1a234a53 个数，其和为 3 的倍数，不妨设 ；在 ， ， ， ， 中必有 3 个数，其231k45678和为 3 的倍数，不妨设 ；在 ， ， ， ， 中必有 3 个数，其和为 3 的456k78a9108-2.抽屉原理.题库 教师版 page 6 of 31倍数，不妨设 又在 ， ， 中必有两个数的奇偶性相同，不妨设 ， 的7893ak12k3 1k2奇偶
19、性相同，那么 是 6 的倍数，即 ， ， ， ， ， 的和是 6 的倍数12a4a56【巩固】 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是 的倍数？【解析】 至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被 除的余数分别为 ， ， 因此这三个数之和能被 整除综上所述，在任意的五个自然30123数中，其中必有三个数的和是 的倍数3【例 8】 任 意 给 定 2008个 自 然 数 ， 证 明 ： 其 中 必 有 若 干 个 自 然 数 ， 和 是 2008的 倍 数 (单 独 一 个 数 也 当 做和 )【解析】 把这 2008 个数先排成一行： ， ，
20、， ，1a23208a第 1 个数为 ；1a前 2 个数的和为 ；2前 3 个数的和为 ；13前 2008 个数的和为 12208aa如果这 2008 个和中有一个是 2008 的倍数，那么问题已经解决；如果这 2008 个和中没有2008 的倍数，那么它们除以 2008 的余数只能为 1，2，2007 之一，根据抽屉原理，必有两个和除以 2008 的余数相同，那么它们的差( 仍然是 ， ， ， 中若干个数的1a23208a和)是 2008 的倍数所以结论成立【巩固】 20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题证明：小明一定在连续的若干天内恰好做了 7道题目【解析】 设小明第 1 天做了
21、 道题，前 2 天共做了 道题，前 3 天共做了 道题，前 14 天共做1a2a3a了 道题显然 ，而 都小于 20考虑 ， ， ， 及 ，4a401312147a， ， 这 28 个数，它们都不超过 27237根据抽屉原理，这 28 个数中必有两个数相等由于 ， ， ， ， 互不相等， ，123141， ， 也互不相等，因而这两个相等的数只能一个在前一组，另一个在27314a后一组中，即有： ，所以 这表明从第 天到第 天，小明恰好做了 7ji7jiaij道题【例 9】 求证：可以找到一个各位数字都是 4的自然数，它是 1996的倍数【解析】 ，下面证明可以找到 1 个各位数字都是 1 的自
22、然数，它是 499 的倍数 1964取 500 个数：1，11，111，1111 （500 个 1） 用 499 去除这 500 个数，得到 500个余数 ， ， ， 由于余数只能取 0，1，2，498 这 499 个值，所以根据抽a2350a屉原则，必有 2 个余数是相同的，这 2 个数的差就是 499 的倍数，差的前若干位是 1，后若干位是 0：111000又 499 和 10 是互质的，所以它的前若干位由 1 组成的自然数是 499 的倍数，将8-2.抽屉原理.题库 教师版 page 7 of 31它乘以 4，就得到一个各位数字都是 4 的自然数，这是 1996 的倍数【巩固】 任 意
23、给 定 一 个 正 整 数 ， 一 定 可 以 将 它 乘 以 适 当 的 整 数 ， 使 得 乘 积 是 完 全 由 0和 7组 成 的 数 .n【解析】 考虑如下 个数： 7，77，777， ， ，这 个数除以 的余数只能为17n位 17n 位 n0，1，2， ， 中之一，共 种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以 的余数相同，不妨设为 和 ( )，那么 是 的倍数，所以 乘 以 适p位 q位 p()0pqpq 位 位 位 位当 的 整 数 ， 可 以 得 到 形 式 为 的 数 ， 即 由 0 和 7 组 成 的 数 ()70pq 位 位【例 10】 求证：对于任意的 8个自然数，一定
24、能从中找到 6个数 a， b， c， d， e， f，使得是 105的倍数()()abcdef【解析】 我们可以写出下列数字谜 使其结果为 105 的倍数，那么我们的10537()()abcdef:思路是使第一个括号里是 7 的倍数，第二个括号里是 5 的倍数，第三个括号里是 3 的倍数，那么对于如果六个数字里有 7 的倍数，那么第一个括号里直接做乘法即可，如果没有 7 的倍数，那么我们做如下抽屉：除以 7 的余数是 1 或者是 6除以 7 的余数是 2 或者是 5除以 7 的余数是 3 或者是 4那么六个数字肯定有两个数字在同一个抽屉里，那么这两个数如果余数相同，做减法就可以得到 7 的倍数
25、，如果余数不同，做加法就可以得到 7 的倍数这 样 剩 下 的 4 个 数 中 ， 同 理 可 得 后 面 的 括 号 里 也 可 以 组 合 出 5 和 3 的 倍 数 于 是 本 题 可 以 证 明 【巩固】 （ 年中国台湾小学数学竞赛决赛（一）在 张卡片上不重复地编上 ，至少要随意208 1010抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被 整除？2【解析】 ，因为 的倍数有 个，所以不是 的倍数的数一共有 （个） ，131033367抽取这 个数无法保证乘积是 的倍数，但是如果抽取 个数，则必定存在一个数是 的倍数，67 68又因为奇数只有 个，所以抽取的偶数至少有 个，可以保证乘
26、积是 的倍数，从而可以保证5014乘积是 的倍数。于是最少要抽取 个数（即： 张卡片）才可以保证结果。1268【例 11】 把 1、2、3、10 这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于 17【解析】 (法 1)把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为 、 、 、 、 相邻的三个数为1a2310a一组，有 、 、 、 、 共 10 组123a435a910a0这十组三个数之和的总和为：，1232341021210+356 510，根据抽屉原理，这十组数中至少有一组数的和不小于 17(法 2)在 10 个数中一定有一个数是 1，不妨设 ，除去 之外，把 、 、
27、、 、 这10a10a1a239a9 个数按顺序分为三组 、 、 因为这三组数之和的总和为：123a456789，根据抽屉原理，这三组数中至少12345678+2354a有一组数之和不小于 178-2.抽屉原理.题库 教师版 page 8 of 31【巩固】 圆周上有 个点，在其上任意地标上 （每一点只标一个数，不同的点标上不同200,12,9的数） 证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于 29【解析】 把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为 、 、 、 相邻的三个数为一组，1a2320a有 、 、 、 、 共 组123a435a19201a20这 组三个数之和
28、的总和为：012323420121220+ (139)570 ，根据抽屉原理，这两千组数中至少有一组数的和不小于 29995978【例 12】 证明：在任意的 6个人中必有 3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识【解析】 把这 6 个人看作 6 个点，每两点之间连一条线段，两人相互认识的话将线段涂红色，两人不认识的话将线段涂上蓝色，那么只需证明其中有一个同色三角形即可从这 6 个点中随意选取一点 ，从 点引出的 5 条线段，根据抽屉原理，必有 3 条的颜色相同，不妨设有 3 条线段为红A色，它们另外一个端点分别为 、 、 ，那么这三点中只要有两点比如说 、 之间的线段BCDBC是红色，那么
29、、 、 3 点组成红色三角形；如果 、 、 三点之间的线段都不是红色，BCD那么都是蓝色，这样 、 、 3 点组成蓝色三角形，也符合条件所以结论成立【巩固】 平面上给定 6个点，没有 3个点在一条直线上证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中，一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边【解析】 我们先把题目解释一下一般情况下三角形的三条边的长度是互不相等的，因此必有最大边和最小边在等腰三角形(或等边三角形中)，会出现两条边，甚至三条边都是最大边 (或最小边) 我们用染色的办法来解决这个问题分两步染色：第一步：先将每一个三角形中的最大边涂上同一种颜色，比如红色；第二步，将其它的未涂
30、色的线段都涂上另外一种颜色，比如蓝色这样，我们就将所有三角形的边都用红、蓝两色涂好根据上题题的结论可知，这些三角形中至少有一个同色三角形由于这个同色三角形有自己的最大边，而最大边涂成红色，所以这个同色三角形必然是红色三角形由于这个同色三角形有自己的最小边，而这条最小边也是红色的，说明这条最小边必定是某个三角形的最大边结论得证【巩固】 假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？【解析】 从这 6 个点中随意选取一点 ，从 点引出的 5 条线段，根据抽屉原理，必有 3 条的颜色相同，A不妨设有 3
31、 条线段为红色，它们另外一个端点分别为 、 、 ，那么这三点中只要有两点比BCD如说 、 之间的线段是红色，那么 、 、 3 点组成红色三角形；如果 、 、 三点之BC BCD间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样 、 、 3 点组成蓝色三角形，也符合条件所以结论成立(可以拓展玩转数学)【巩固】 平面上有 17个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干个三角形证明：一定有一个三角形三边的颜色相同【解析】 从这 17 个点钟任取一个点 ，把 点与其它 16 个点相连可以得到 16 条线段，根据抽屉原理，A其中同色的线段至少有 6 条，不妨设为红色考虑这 6 条线段的
32、除 点外的 6 个端点：A如果 6 个点两两之间有 1 条红色线段，那么就有 1 个红色三角形符合条件；8-2.抽屉原理.题库 教师版 page 9 of 31如果 6 个点之间没有红色线段，也就是全为黄色和蓝色，由上面的 2 题可知，这 6 个点中必有 3 个点，它们之间的线段的颜色相同，那么这样的三角形就符合条件综上所述，一定存在一个三角形满足题目要求【例 13】 上体育课时，21 名男、女学生排成 3行 7列的队形做操老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形 4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例【解析】 因为只有男生或女生两种情
33、况，所以第 1 行的 7 个位置中至少有 4 个位置同性别为了确定起见，不妨设前 4 个位置同是男生，如果第二行的前 4 个位置有 2 名男生，那么 4 个角同是男生的情况已经存在，所以我们假定第二行的前 4 个位置中至少有 3 名女生，不妨假定前 3 个是女生又第三行的前 3 个位置中至少有 2 个位置是同性别学生，当是 2 名男生时与第一行构成一个四角同性别的矩形，当有 2 名女生时与第二行构成四角同性别的矩形所以，不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形 4 个角上的学生同性别问题得证【例 14】 8个学生解 8道题目(1)若每道题至少被 5人解出，请说明可以找到两个学生
34、，每道题至少被过两个学生中的一个解出(2)如果每道题只有 4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立试构造一个例子说明这点.【解析】 （1）先设每道题被一人解出称为一次，那么 8 道题目至少共解出 58=40 次，分到 8 个学生身上，至少有一个学生解出了 5 次或 5 次以上题目，即这个学生至少解出 5 道题，称这个学生为 A，我们讨论以下 4 种可能：第一种可能 ：若 A 只解出 5 道题，则另 3 道题应由其他 7 个人解出，而 3 道题至少共被解出35=15 次，分到 7 个学生身上，至少有一名同学解出了 3 次或 3 次以上的题目(15=2 7+1，由抽屉原则便知)由于只有 3 道题，
35、那么这 3 道题被一名学生全部解出，记这名同学为 B那么，每道题至少被 A、B 两名同学中某人解出第二种可能 ：若 A 解出 6 道题，则另 2 道题应由另 7 人解出，而 2 道题至少共被解出25=10 次，分到 7 个同学身上，至少有一名同学解出 2 次或 2 次以上的题目(10=1 7+3，由抽屉原则便知)与 l 第一种可能 I 同理，这两道题必被一名学生全部解出，记这名同学为C那么，每道题目至少被 A、C 学生中一人解出8-2.抽屉原理.题库 教师版 page 10 of 31第三种可能 ：若 A 解出 7 道题目，则另一题必由另一人解出，记此人为 D那么，每道题目至少被 A、D 两名
36、学生中一人解出第四种可能 ：若 A 解出 8 道题目，则随意找一名学生，记为 E，那么，每道题目至少被 A、E两名学生中一人解出，所以问题(1)得证(2)类似问题 (1)中的想法，题目共被解出 84=32 次，可以使每名学生都解出 4 次，那么每人解出 4 道题随便找一名学生，必有 4 道未被他解出，这 4 道题共被 7 名同学解出 44=16 次，由于 16=27+2，可以使每名同学解出题目不超过 3 道，这样就无法找到两名学生，使每道题目至少被其中一人解出具体构造如下表，其中汉字代表题号，数字代表学生，打代表该位置对应的题目被该位置对应的学生解出【巩固】 试卷上共有 4道选择题，每题有 3
37、 个可供选择的答案一群学生参加考试，结果是对于其中任何 3人，都有一个题目的答案互不相同问参加考试的学生最多有多少人?【解析】 设总人数为 A，再由分析可设第一题筛选取出的人数为 1A，第二题筛选的人数为 2A，第三题筛选取的人数为 3，第四题筛选的人数为 4如果不能满足题目要求，则： 4至少是 3，即 3个人只有两种答案由于 4是 3A人做第四题后筛选取出的人数，则由抽屉原则知，(两种答案)中至少放有 3个苹果(即 4). 3A= 4=3，则 A3 至少为 4，即 4 人只有两种答案由于 3是 2人做第三题后筛选的人数，则由抽屉原则知，将 2A个苹果放久三个抽屉(三种答案) ，那么必然有两个抽屉( 两种答案)中至少放有 23个苹果(即 3)23A= =4，则 2A至少为 5，即 5 人只有两种答案同理，有 1A= 2=5 则
