1、二次函数中考试题分类汇编一、选择题1、已知二次函数 的图象如图所示，有下列 5 个结)0(2acbxy论： ； ； ； ； 0abc024cbbc32，（ 的实数）其中正确的结论有（ ）B)(m1A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个2、如图是二次函数 yax 2bx c 图象的一部分，图象过点 A（3，0），对称轴为 x1给出四个结论：b 24ac；2ab=0；abc=0；5ab其中正确结论是（ ）B（A） （B） （C） （D）3、二次函数 与 x 轴的交点个数是（ ）B21yxA0 B1 C2 D34、在同一坐标系中一次函数 和二次函数yaxb的图象可能为（ ）A2yax
2、b5、已知二次函数 (a0) 的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1 ，0) . 下列2yxbc结论正确的是( )DA. 当 x0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大B. 当 x0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小C. 存在一个负数 x0，使得当 x x0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大D. 存在一个正数 x0，使得当 xx0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大6、已知二次函数 y=x2-x+a(a0) ，当自变量 x 取 m 时，其相应的函数值小于 0，那么下列结论中正确的是（ ）B(A) m-1 的函数值小于 0 (B) m-1 的函数值大于 0 (C) m-1 的函数值
3、等于 0 (D) m-1 的函数值与 0 的大小关系不确定二、填空题1、二次函数 y =ax2bx c 的图象如图 8 所示，且 P=| abc | 2ab |，Q=| abc | | 2ab |，则 P、 Q 的大小关系为 . PQ图 8O xyO xyO xyO xyA B C D2、如图 9 所示的抛物线是二次函数 的图象，2231yax那么 的值是 1a3、已知二次函数 的部分图象如2yxm图所示，则关于 的一元二次方程的解为 20xm， ；1234、已知二次函数 的图象如图所2yaxbc示，则点 在第 象限 三()Pc，三、解答题1、知一抛物线与x轴的交点是 、B （1，0），且经过
4、点),2(AC（2，8）。（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。解：（1）设这个抛物线的解析式为 cbxay2由已知，抛物线过 ，B （1，0），C（2，8）三点，得),(A（3 分）解这个方程组，得8240cba 4,2cba 所求抛物线的解析式为 （6 分）42xy（2） 29)1()(42 xy 该抛物线的顶点坐标为 29,12、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 ，且过点 (14)A， (30)B，（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 轴的另一个交点的坐标x解：（1）设二次函数
5、解析式为 ， 2(1)4yax二次函数图象过点 ， ，得 (30)B， 二次函数解析式为 ，即 2yx23yxxyO第 4 题Oyx图 9yxO13（第 3 题）（2）令 ，得 ，解方程，得 ， 0y230x13x21二次函数图象与 轴的两个交点坐标分别为 和 (0)， )，二次函数图象向右平移 1 个单位后经过坐标原点平移后所得图象与 轴的另一个交点坐标为x(4)，3、已知二次函数图象的顶点是 ，且过点 (2)， 302，（1）求二次函数的表达式，并在图 10 中画出它的图象；（2）求证：对任意实数 ，点 都不在这个m2()M，二次函数的图象上解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为 ， 2
6、 分2(1)yax又点 在它的图象上，可得 ，解得 302， 32所求为 令 ，得21()yx0y123x，画出其图象如右 （2）证明：若点 在此二次函数的图象上，M则 得 2(1)m23m方程的判别式： ，该方程无解480所以原结论成立4、二次函数 的图象如图 9 所示，根据图象解答下列问题：2()yaxbc（1）写出方程 的两个根（2 分）0（2）写出不等式 的解集（2 分）2xc（3）写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围（2 分）yx（4）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围（4 分）2abkk解：（1） ， 1x23（2） （3） （4） k图 101 2 33210yx
7、图 9xy32142O5、如图 13，已知二次函数 的图像经过点 A 和点 B24yaxc（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点 P（ m， m） 与 点 Q 均 在 该 函 数 图 像 上 （ 其 中 m 0） ， 且这 两 点 关 于 抛 物 线 的 对 称 轴 对 称 ， 求 m 的 值 及 点 Q 到 x 轴的距离解：（1）将 x=-1，y =-1；x=3，y=-9 分别代入 得cay42解得 二次函数的表达式.349,)()(2ca.6,1c为 6xy（2）对称轴为 ；顶点坐标为（2，-10）（3）将（m，m）代入 ，得 ，64xy 642m解得
8、m 0， 不合题意，舍去12,61 m=6 点 P 与点 Q 关于对称轴 对称，点 Q 到 x 轴的距离为 66、在平面直角坐标系 中，已知二次函数 的图象与 轴交于xOy2(0)yabcx两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，其顶点的横坐标为 1，且过点AB， BC和 (23)， 12)，（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线 与线段 交于点 （不与点 重合），则是否存在这:(0)lykxBDB，样的直线 ，使得以 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出该直线的函O， ， AC数表达式及点 的坐标；若不存在，请说明理由；D（3）若点 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点
9、，试比较锐角P与 的大小（不必证明），并写出此时点 的横坐标 的取值范围CAPpx解：（1） 二次函数图象顶点的横坐标为 1，且过点 和 ，(23)， 12)，由 解得243912.bac， ， 23.abc，此二次函数的表达式为 2yx（2）假设存在直线 与线段 交于点 （不与点 重合），使得以:(0)lkBCDBC，xyO 3911AB图 13yx11O为顶点的三角形与 相似BOD， ， BAC在 中，令 ，则由 ，解得23yx0y230x123x，令 ，得 (10)(A， ， ， x()，设过点 的直线 交 于点 ，过点 作 轴于点 lDE点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 B
10、(3)， C(03)， A(10)，445.AOB， ， 23C要使 或 ，A O 已有 ，则只需 ， BDC或 成立.CA若是，则有 而 3294BOD45OBCED，在 中，由勾股定理，得 RtE22229EDE解得 （负值舍去） 94B 34B点 的坐标为 将点 的坐标代入 中，求得 D3， (0)ykxk满足条件的直线 的函数表达式为 l3或求出直线 的函数表达式为 ，则与直线 平行的直线 的函数表达式为ACyxACl此时易知 ，再求出直线 的函数表达式为 联3yxBODAC B3yx立 求得点 的坐标为 3， 394，若是，则有 而 2BCA45OBCED，在 中，由勾股定理，得 R
11、tDE 2222()BED解得 （负值舍去） 点 的坐标2 31yxBEA OCD 1xl为 (12)，将点 的坐标代入 中，求得 满足条件的直线 的函数表达式为D(0)ykx2k lyx存在直线 或 与线段 交于点 （不与点 重合），使得以:3lyx2BCDBC，为顶点的三角形与 相似，且点 的坐标分别为 或 BOD， ， A 394， (12)，（3）设过点 的直线 与该二次函数的图象交于点 (03)1CE， ， ， 3(0)ykxP将点 的坐标代入 中，求得 此直线的函数表达式1E， ykx为 yx设点 的坐标为 ，并代入 ，得 P(3)x， 23yx250x解得 （不合题意，舍去） 1
12、250x， 51y，点 的坐标为 此时，锐角 (1)， PCOA又 二次函数的对称轴为 ，x点 关于对称轴对称的点 的坐标为 C(23)，当 时，锐角 ；当 时，锐角 ；5pxPA5pxPCOA当 时，锐角 2CO7、如图，矩形 ABCO是矩形 OABC(边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上) 绕B 点逆时针旋转得到的O点在 x 轴的正半轴上，B 点的坐标为 (1，3)(1)如果二次函数 yax 2bxc(a0) 的图象经过 O、O两点且图象顶点 M 的纵坐标为1求这个二次函数的解析式；(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点 P，使得 POM 为直角三
13、角形?若存在，请求出 P 点的坐标和 POM 的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边 CO所在直线的解析式xBEA OC 1xP8、容积率 t 是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即 t= ，为充分利用用 地 面 积建 筑 面 积SM土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率 t 不小于 1 且不大于 8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m 2）与容积率 t 的关系可近似地用如图（1）中的线段 l 来表示；1 m2 建筑面积上的资金投入 Q（万元）与容积率 t 的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段 c 来表示（）试求图
14、（1）中线段 l 的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；（）求出图（2）中抛物线段 c 的函数关系式.解：（）设线段 l 函数关系式为 M=kt+b，由图象得解之，得.806,2bk.20,13k线段 l 的函数关系式为 M13000t +2000, 1t 8. 由 t= 知，当 t=1 时， S 用地面积 =M 建筑面积 ，用 地 面 积建 筑 面 积S把 t=1 代入 M13000t+2000 中，得 M=15000 m2.即开发该小区的用地面积是 15000 m2. （）根据图象特征可设抛物线段 c 的函数关系式为 Q a( t4) 2+k, 把点（4,0.09）, （1,0.18）
15、代入，得 解之，得.180)41(,9.2ka.109k抛物线段 c 的函数关系式为 Q ( t4) 2+ ,即 Q t2- t + , 1t 8.9549、如图 10，已知抛物线 P：y=ax 2+bx+c(a0) 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在 x 轴的正半轴上)，与 y 轴交于点 C，矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上，顶点 F、G 分别在线段BC、AC 上，抛物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x -3 -2 1 2 y - 5-4 - 50 (1) 求 A、B 、C 三点的坐标；(2) 若点 D 的坐标为 (m，0) ，矩形 DEFG 的面积为 S，求
16、 S与 m 的函数关系，并指出 m 的取值范围；(3) 当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时，连接 DF 并延长至点 M，使 FM=kDF，若点 M 不在抛物线 P 上，求 k 的取值范围.若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到 5 分)：(2) 若点 D 的坐标为 (1，0)，求矩形 DEFG 的面积.解： 解法一：设 ，2(0)yaxbca=+任取 x,y 的三组值代入，求出解析式 ， 1 分214yx=+-令 y=0，求出 ；令 x=0，得 y=-
17、4，124,- A、B、C 三点的坐标分别是 A(2，0)，B(-4，0) ，C (0，-4) . 3 分解法二：由抛物线 P 过点(1， - )，(-3， )可知，552抛物线 P 的对称轴方程为 x=-1， 1 分又 抛物线 P 过(2，0)、(-2， -4)，则由抛物线的对称性可知，点 A、B、C 的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0) ，C (0，-4) . 3 分 由题意， ，而 AO=2，OC=4，AD=2 -m，故 DG=4-2m， 4 分DGO又 ，EF=DG，得 BE=4-2m， DE=3 m， 5 分EFSDEFG=DGDE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0m2
18、) . 6 分注：也可通过解 RtBOC 及 RtAOC，或依据BOC 是等腰直角三角形建立关系求解. S DEFG=12m-6m2 (0m2)，m=1 时，矩形的面积最大，且最大面积是 6 .当矩形面积最大时，其顶点为 D(1，0)，G(1，-2) ，F (-2，-2)，E( -2，0)， 7 分设直线 DF 的解析式为 y=kx+b，易知，k = ，b= - ， ，233yx又可求得抛物线 P 的解析式为： ， 8 分14x令 = ，可求出 x= . 设射线 DF 与抛物线 P 相交于点 N，则 N 的横23x-214x-63-坐标为 ，过 N 作 x 轴的垂线交 x 轴于 H，有6= =
19、 ， 9 分FHED1623-519-+点 M 不在抛物线 P 上，即点 M 不与 N 重合时，此时 k 的取值范围是k 且 k0. 10 分5619-+说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.图 10若选择另一问题： ，而 AD=1，AO=2 ，OC=4，则 DG=2， 4 分ADGOC=又 ， 而 AB=6，CP=2，OC=4 ，则 FG=3，FPBSDEFG=DGFG=6.10、（2007 山东威海）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标A(12)， B为 ，二次函数 的图象记为抛物线 (31)， 2yx1l（1）平移抛物线 ，使平移后的抛物线过点 ，但不过点 ，写出平移后
20、的一个抛物线1l B的函数表达式： （任写一个即可）（2）平移抛物线 ，使平移后的抛物线过 两点，记为抛物线 ，如图，求抛物线1l A， 2l的函数表达式l（3）设抛物线 的顶点为 ， 为 轴上一点若 ，求点 的坐标2lCKyABKCS （4）请在图上用尺规作图的方式探究抛物线 上是否存在点 ，使 为等腰三角2lPAB形若存在，请判断点 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师P解：（1）有多种答案，符合条件即可例如 ， ， 或21yx2yx2(1)yx， ， 23yx2(1)yx()（2）设抛物线 的函数表达式为 ，2lyxbc点 ， 在抛物线 上，(1)A， ()B， 2l解得 293bc， 91.bc，BOyx1l图A1 1 BOyx2l图AC1 1 BOyx2l图A1 1 BEFDOGKx2lCA图
