1、12012 年高考数学压轴题预测（三）11. ：如图，设 OA、OB 是过抛物线 y22px 顶点 O 的两条弦，且 0，求以 OA、OB 为直径的两OA OB 圆的另一个交点 P 的轨迹.(13 分)12.知函数 f(x)log 3(x22mx 2m 2 )的定义域为 R9m2 3(1)求实数 m 的取值集合 M；(2)求证：对 mM 所确定的所有函数 f(x)中，其函数值最小的一个是 2，并求使函数值等于 2 的 m 的值和x 的值 .13.设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为 函数 f(x)=),(,.142xt(1). 求 f( 的值。)(f和（2） 。证明：f(x)在
2、上是增函数。,（3） 。对任意正数 x1、x 2,求证： 2)()(121xfxf14已知数列a n各项均为正数，S n为其前 n 项的和.对于任意的 ，都有 .*nN241nSaI、求数列 的通项公式.II、若 对于任意的 恒成立，求实数 的最大值.2nt*Nt15.( 12 分)已知点 H（3，0） ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且满足 =0， = ，PM2Q（1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C；（2）过点 T（ 1，0）作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点，若在 x 轴上存在一点 E（x 0,0） ，使得ABE
3、为等边三角形，求 x0 的值.参考答案：11设直线 OA 的斜率为 k，显然 k 存在且不等于 0则 OA 的方程为 ykx由 解得 A( ) 4 分y kxy2 2px) 2pk2， 2pk又由，知 OAOB，所以 OB 的方程为 y x1k2由 解得 B(2pk2，2pk) 4 分y 1kxy2 2px)从而 OA 的中点为 A( )，OB 的中点为 B(pk2，pk) 6 分pk2， pk所以，以 OA、OB 为直径的圆的方程分别为x2y 2 0 2pxk2 2pykx2y 22 pk2x2 pky0 10 分P(x，y )是异于 O 点的两圆交点，所以 x0，y 0由并化简得 y( k
4、 )x 1k将代入，并化简得 x(k2 1)2p 1k2由消去 k，有 x2y 22px 0点 P 的轨迹为以(p，0)为圆心，p 为半径的圆(除去原点). 13 分12(1)由题意，有 x22mx2m 2 0 对任意的 xR 恒成立9m2 3所以4m 24(2m 2 )09m2 3即m 2 09m2 3 0(m2 f(3,2)2 27m2 3由于分子恒大于 0，只需 m230 即可所以 m 或 m3 3Mm |m 或 m 4 分3 3(2)x22mx 2m 2 (xm) 2m 2 m29m2 3 9m2 3 9m2 3当且仅当 xm 时等号成立 .所以，题设对数函数的真数的最小值为 m2 7
5、 分9m2 3又因为以 3 为底的对数函数为增函数f(x)log3(m2 )9m2 3当且仅当 xm(mM )时，f(x )有最小值为 log3(m2 ) 10 分9m2 3又当 mM 时，m 230m2 m 23 32 399m2 3 9m2 3 (m2 3) 9m2 3当且仅当 m23 ，即 m 时，9m2 3 6log3(m2 )有最小值 log3(6 )log 3929m2 3 96 33当 xm 时，其函数有最小值 2.613解析：（1） 。 ，由根与系数的关系得， .1,2t).16(268)(41)( 2222 tttf同法得 f( ).6()2tt(2).证明： f/(x)=
6、而当 x 时，,)1(2)1(422xtx ,2x2-tx-2=2(x- 故当 x 时, f /(x)0,0函数 f(x)在 上是增函数。,（3） 。证明： ,0)(,)( 21212121 xxxx , 同理 .21 21).()()(),() 2121 fxfffxff 故又 f( 两式相加得:).()21ff),()()()( 2121 ffxfxfff 即 ).()()(2121 fffxf 而由（1） ，f( 且 f( ,)(,)f )()(fff.2(121xfxf14(I) 当 时, ,4),.Saan22114nnnaSa,又a n各项均为正数, .数列 是等差数列, 2112
7、nn 12.4(II) ,若 对于任意的 恒成立,则 .令 ,.当 时,2nSntS*nN2mint2nb3.又 ，212(1)()nb1238,9b. 的最大值是 .28mii9nnt8915.（1）设点 M 的坐标为(x ,y)，由 = ,得 P(0, ),Q( ,0), 2 分P23M2y3x由 =0，得（3， ）(x, )=0,又得 y2=4x, 5 分HP由点 Q 在 x 轴的正半轴上，得 x 0,所以，动点 M 的轨迹 C 是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点. 6 分（2）设直线 l:y=k(x+1),其中 k0,代入 y2=4x,得 k2x2+2(k22)x +k2=0, 7 分设 A（x 1,y1）,B(x 2,y2),则 x1,x2 是方程 的两个实根，x 1+x2= ,x1x2=1,2)(所以，线段 AB 的中点坐标为 ( , ), 8 分k线段 AB 的垂直平分线方程为 y = (x ), 9 分2k令 y=0,x0= +1,所以点 E 的坐标为( +1,0)2k2因为ABE 为正三角形，所以点 E（ +1,0）到直线 AB 的距离等于 AB,2k23而AB = = , 10 分2121)()(yx214k所以， = , 11 分243kk2解得 k= ,得 x0= . 12 分1
