1、2015 年高考数学新课标全国卷 I 卷试卷分析九江市三中:冯连胜年复一年的全国高考已经结束,2016 年高考备考如火如荼的进行着，同时发生的变化也引发热议：今年，江西使用高考统一命题，引人关注， 同时实行使用全国统一命题试卷的省份增至 18 个，2016 年更是有 25 省份使用统一命题试卷。从全国统一命题，到分省命题，再重回统一命题一张高考试卷的变化背后，反映出理性的回归，更是适应新一轮高考改革的必然要求。刚刚重回全国一张卷的江西省的考生似乎尝到了“甜头”，他们普遍评价，全国卷比地方卷更科学，更容易上手，以往江西卷数学小题有十分题压轴,一般学生只能靠“蒙”,大题有 14 分压轴题，能考上二
2、本且平时数学成绩优秀的学生都不用动笔(甚至说考试时连题目都懒得看)，只有极少数水平很高的学生才做得出来，以此来拉开层次,而老师们也认为全国卷没有这个情况，难度适中，注重基础知识、基本方法和技能，考的都是高中数学的主干知识,更体现教育改革方向。下面我从三个方面分析 2015 全国高考数学卷 I 卷.展望 2016 高考，就复习谈谈个人的看法。一.考卷总体分析新课标全国卷 I 卷紧扣新课程标准的考试说明，基础知识考查全面，有非常明显的特点稳定、全面、综合、新颖，表现在结构稳定，知识全面；层次分明，难度合理；重视综合，强调能力；立足平稳，求变求新.突出了对数学思想方法和能力（空间想象能力、抽象概括能
3、力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、分析问题和解决问题的能力）的考查，考查的知识点综合性较强，对于题型来说，大多是常见题型，求解方法也是灵活多样，但对于一般学生来说入手易，深入难，得高分不易. 今年江西省有部分同学数学得满分,也反映出试卷给了部分优异学生充分发挥的空间，在命题特点上体现了重基础、重能力、重创新、重知识点交汇的特点. 以重点内容的常规类型出发，整套试题看起来熟悉，但往往又会在各个题型的后面题目中渗透着新思维新方法。题目能给学生以信心，即使做错也心服口服；题目有值得回味的地方；在大家觉得熟悉的问题中渗透新颖，真正体现不同层次思维。对教学的导向性好，平时怎么教，高考就怎么考
4、。例如:选择填空题全都是立足考查学生的基础知识，但 12 题和 16 题有一定的综合度和能力要求，作为小题来看，具有一定的区分度。与江西卷比较，最大的变化，体现在圆锥曲线上的运算量大大减少，更注重思维能力的考察。最后的压轴题以往江西卷偏怪，考查的知识点具有不确定性，学生很难在考试时间范围内解决问题。反观全国卷，压轴题考点稳定，题型常规，非常有利于学生平时的复习和准备。全国卷的压轴题很常规、貌似简单，但是要深入分析并解决问题还是有一定的能力要求。一方面需要学生有扎实的函数和导数的基础知识，还要有严谨的思维能力和数形结合数学思想方法。二.知识点对比分析1.近四年高考全国卷 I 都考了什么（以理科为
5、例）题号 2012新课标 2013新课标 2014新课标 2015全国卷 I1 集合 集合 集合 复数2 排列组合 复数 复数 三角变换(和角公式)3 复数、命题 抽样方法 函数奇偶性 简易逻辑不等式结合4 椭圆的离心率 双曲线 双曲线 概率（独立，互斥）5 等比数列 程序框图 排列组合、概率 双曲线（向量不等式）6 程序框图 球的切接问题 函数图像 立几（体积、九章算术）7 三视图 等差数列 程序框图向量（平面向量基本定理、向量的表示）8 双曲线、抛物线 三视图 三角恒等 变换三角函数（由图像求解析式、单调区间）9 三角函数的单调性 二项式定理 线性规划 和命题 框图10 函数的图像 椭圆的
6、中点弦 抛物线定义 二项式定理（定义，系数）11 球的内接三棱锥 分段函数与恒成立 函数导数与零点 三视图12 反函数、函数图像、导数、最值 数列与解三角形结合 三视图 函数、图像、导数、最值13 平面向量运算 平面向量 二项式定理 函数奇偶性，待定系数14 线性规划 数列的通项 推理与证明 椭圆几何性质，圆的标准方程15 互斥事件古典概率 正态分布 三角函数 平面向量 线性规划(斜率型)16 数列的递推关系 函数最值 解三角形 解三角形的应用17 解三角形 解三角形 数列（含参数） 数列（知和作差、裂项求和）18分段函数、统计、分布列、期望与方差立体几何线线垂直，求线面角频率分布直方图、正态
7、分布、二项分布求期望立体几何（面面垂直，求线线角）19 线面垂直、二面角 求概率，分布列及 数学期望 立体几何二面角 非线性回归直线方程及应用2. 2015 高考试题中的知识结构（理科为例）2012新课标卷2013新课标卷2014新课标卷2015新课标卷集合与逻辑 T1 T1 T1,T9 T3复数 T10,T12 T11 T3,T6 T1基本初等函数 T12，T21 T16,T21 T11,T21 T8， T12, T13导数及其应用 T7,T11，T19 T6,T8,T18,T22 T12,T19 T12,T21立体几何 T4,T8,T20 T4,T10，T20,T23 T4,T10，T20
8、 T11，T18解析几何 T15,T18 T3,T19 T5,T18 T5,T14，T20概率与统计 T9,T17 T15,T17 T6,T8，T16 T4,T19三角函数与解三角形 T5,T16 T7,T12，T14 T17 T2,T8，T16数列 T6 T5 T7 T17算法初步 T13 T13 T15 T9平面向量 T3 T2 T2 T7线性规划 T14 T9 T5排列组合，二项式定理 T2 T9 T5,T13 T1020 圆、轨迹方程、直线与抛物线 圆、轨迹方程、直 线与椭圆关系 直线与椭圆 抛物线的方程，直线与抛物线的关系21 函数的单调性与最值 函数、导数与不等式 函数、导数与不等
9、式导数的应用（切线）、函数的新定义，分段函数的零点，分类整合综合应用22 三角形相似的判定 几何证明直线与圆相切 几何证明圆内接四边形 选修 4-1 几何证明选讲23 极坐标与参数方程 极坐标与参数方程 参数方程选修 4-4 极坐标与参数方程( 的几何意义)24 绝对值不等式 绝对值不等式 基本不等式 选修 4-5 不等式选讲绝对值不等式2012新课标卷2013新课标卷2014新课标卷2015新课标卷定积分推理与证明(合情推理) T14极坐标与参数方程 T23 T23 T23 T23不等式 T21,T24 T21,T24 T21,T24 T21,T24几何证明选讲 T22 T22 T22 T2
10、23. 试题内容分析1、集合、逻辑、函数模块：小题中函数性质的应用，大题中导数与函数综合题最值问题出现新面貌.例 1（2015 全国卷 21）已知函数 ， .31()4fxa()lngx()当 为何值时， 轴为曲线 的切线；axy（）用 表示 中的最小值，设函数 ，讨论 零点min,n ()mi(),(0)hfgx()hx的个数.考点：符号的辨析；利用导数研究曲线的切线；分段函数的零点；分类整合思想都准确的出现在全国卷中. 选择 12 题对新概念的理解.（2015 全国卷 12）.设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 使得()21)xfea10x，则 的取值范围是（D）0()fxaA. B. C
11、. D.3,12e3,)24e3,)24e3,1)2e试题分析：设 ， ，由题知存在唯一的整数 ，使得 在直线()1xgyax0x0(g的下方.yax因为 ，所以当 时， ，当 时， ，所以当 时，()2)xe2()0g12()12x，1ming当 时， ， ，直线 恒过 且斜率 ，故 ，且0x()()0geyax(1,)a(0)1g，解得 ，故选 D.1()3ea3122、三角函数模块：更注重三角变换和解三角形，轻三角函数的性质，大题和数列轮流考.例 2【2015 全国卷 2】 （D）00sincos6inA. B. C. D.32321212考点：全国卷考的是和角公式，连续两年大题未出现，
12、2016 年大题考三角的概率急剧增大.3、数列模块：更注重对定义及基本公式应用的考查，强调计算而不是变换，大题和三角轮流考,今年考的是知和作差和裂项求和；例 3.【2015 全国卷 17】 为数列 的前 项和.已知 ， .nSna0na2na43nS（）求 的通项公式：na（）设 ,求数列 的前 项和.1nbnb考点：数列前 项和与第 项的关系；等差数列定义与通项公式；裂项相消法求和，第一问先用数列第项与前 项和的关系求出数列 的递推公式，可以判断数列 是等差数列，利用等差数列的通项nana公式即可写出数列 的通项公式；第二问根据（）求数列 的通项公式，再用裂项消去法求其前n b项和. 中规中
13、矩，典型的复习什么考什么，但连续两年大题考数列，2016 年大题再考数列的可能性很n小，等差、等比数列性质的应用及其他求和方法可能在小题中全面考查. 如：【并项求和】 【2012 年课标卷 12】数列 满足 ，则 的前 60 项和为na1()21nnanaA.3690 B.3660 C.1845 D.18304、解几模块：求曲线方程时各种方法轮换考查，相对侧重于利用定义和几何意义求曲线方程，更重视圆的考查.例 4【2015 全国卷 I20】在直角坐标系 中，曲线 与直线 ( )交与 两xOy2:4xCyykxa0,MN点.（）当 时，分别求 在点 和 处的切线方程；0kCMN（） 轴上是否存在
14、点 ，使得当 变动时，总有 ？说明理由.yPkPMON考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；考查学生的探索新问题；运算求解能力要求较高.5、立几模块：角的考查更显多样化，表达方式也有变化，小题中球和三视图的考查明显加深;例 5【2015 全国卷 18】如图，四边形 为菱形， ， ， 是平面 同一侧的ABD012ABCEFABCD两点， 平面 ， 平面 ， ， .BEACFEF（1）证明：平面 平面 ；（2）求直线 与直线 所成角的余弦值.考点：空间垂直判定与性质这一热点；角度的考查更明确的让学生意识到，线面角、二面角、异面直线所成角的计算在高考中是轮番考查，不能只把宝压在二面角上；对空间想
15、象能力，推理论证能力的考查方向具有同样的功能。6、概率模块:变化最大，大题考统计，概率浅显的多；例 6【2015 全国卷 4】投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率AB CDFE为 ，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为0.6A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式.三.数学思想方法对比分析数学教学有两条线，一条是明线即数学知识的教学，一条是暗线即数学思想方法的教学。而数学思想方法是数学的精髓，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力的桥梁，是培养学生良好的数学观念和
16、创新思维的载体，所以在高考全国新课标试卷中尤其重视数学思想方法在考题中的渗透。数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映；数学知识是数学思想方法的载体，数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法，在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用。因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念数学思想方法。
17、1.分类讨论的思想方法例如【2015 全国卷 21】已知函数 ， .31()4fxa()lngx()当 为何值时， 轴为曲线 的切线；axy（）用 表示 中的最小值，设函数 ，讨论 零点min,n ()mi(),(0)hfgx()hx的个数.【答案】 （） ；（）当 或 时， 由一个零点；当 或 时，34a34a5()34a5有两个零点；当 时， 有三个零点.()hx5()hx试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的 值；（）根据对数函数的图像与性质将 分为 研究 的零点个数，若零点不容易求解，则x1,01()hx对 再分类讨论.a由于分类讨论的数学思想对学
18、生的思维、表述能力要求非常高，表达完整有难度要求，所以在试卷中的题量会较少。2.数形结合的思想方法例如全国卷的 5.7.8.12.14.15.20.举例如下:【2015 全国卷 12】设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 使得 ，()21)xfea10x0()f则 的取值范围是（D）aA. B. C. D.3,1)2e3,)4e3,)24e3,1)2e分析：设 ， ，由题知存在唯一的整数(gx1)yax，使得 在直线 的下方.00)由于数形结合的思想方法在函数方程、解析几何、立体几何、三角函数和解三角形、向量等知识点中广泛应用，所以在试卷中的题量会较多，全国卷有 5 题到 7 题的题量。4.化归
19、的思想方法例如全国卷的 12.15.19.21，举例如下:【2015 全国卷（15） 】若 满足约束条件 ，则 的最大值为 3 .,xy104xyyx考点:线性规划斜率型目标函数,将非斜率型目标函数转化为斜率型.【2015 全国卷 19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 （单位：千元）x对年销售量 （单位： ）和年利润 （单位：千元）的影响.对近 8 年的年宣传费 和年销售量 （ytz i iyi1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。xyw821()iix821()iiw81()iiixy81()iiiwy46.6 563 6.8 289.8
20、1.6 1469 108.8表中 ， .iix81i（）根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方yabxycdxyx程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程；（）已知这种产品的年利率 与 、 的关系为 .根据（）的结果回答下列问题：zxy0.2zyx（）年宣传费 时，年销售量及年利润的预报值是多少？49x（）年宣传费 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据 , ， ,其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计1()uv2()nuvvu分别为： ，A12=()niiiiiuA=【答案】 （） 适合作为年销售 关于
21、年宣传费用 的回归方程类型（）ycdxyx（）46.2410.68y考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识,渗透着把非线性拟合转化为线性拟合的化归思想.5.方程、函数与不等式的思想方法例如,全国卷的 5.8.12.13.14.15.19.20.21.23.24，由于函数与方程占据了试卷的半壁江山，全国卷没有在函数和方程之外的题目中涉及函数与方程的思想，体现出其不在其他知识点中无谓的增加试题额外的难度，让学生感觉到题目直接常规，无偏题怪题，没有解题负担。7.猜证，极限的思想方法极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确
22、认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科 ?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。【2015 全国卷 16】在平面四边形 中， ， ，则 的取值范围ABCD075BC2BA是 .(62,+)试题分析：如图所示，延长 ， 交于 ，平移 ，当 与 重合与 点时， 最长，解得BAEADEAB，平移 ，当 与 重合时， 最短，但是这两种结果都不符合条件中“多边形BEDCB是一个平面四边形” ，所
23、以 的取值范围为 .AC(62,+)考点：正余弦定理；数形结合思想；猜证、极限思想。猜想验证是一种重要的数学思想方法，正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。 ”考点：归纳推理，猜想验证的思想。这两种数学思想是以前很少出现，最近这几年在高考题中逐步渗透。四.高三复习备考建议根据全国卷的特点发现：首先，全国卷表现在侧重知识的积累，而不是临考突击。全国卷要求知识面更广，了解知识更多，信息量更大。其次，表现在对知识的灵活应用，而不是死记硬背。解答题灵活性渐强，对知识的迁移、应用知识解决问题的能力要求比较高，学生如果平时数学思维很好，很灵活，就
24、很有利。要是对一些学得比较死，爱背题型的学生，就不利，这也是以后高考发展的一个方向。1.科学分析备考要素分析一级要素 二级要素 三级要素 科学选择备考要素考试说明考试范围能力要求题型示例高考高频考点和盲点能力要求 x 类和 y 项新题型高考真题 知识点 高考考查角度1.知识点高频考点与盲点重难点与易错易混点教材不足点选择题非选择题高考情景设置高考同题异构教材教辅知识梳理重点难点易错易混训练题知识点内部要素补充知识点外部联系拓展加强训练题的针对性及时进行纠错与反思学生学情知识欠缺视角单一思维僵化技能生疏教材知识不熟课外知识贫乏联系想象力弱探究分析力差2.视角点高考角度总结备考角度拓展联系想象力培
25、养3.技能点能力要求示范知识情景再造同题异构演示4.训练点新题型针对性训练设计纠错反思2.加强研究首先要研究课本，回归课本，课本有三个功能：基础知识的梳理，课本上的习题，不同的版本（取共同点） ；如: 2015 年理科数学全国卷没有概率的大题，考点是统计模块中线性回归方程的应用。在平时教学和练习中，有关回归方程的应用一般都是线性的，而今年考题是非线性的，需要通过换元变化，将非线性的问题转化为线性的问题来分析，这是由课本上的例题改变而来的题目,每年全国卷都会有一题课本习题或例题改编题,在考前一周回归课本显得非常重要.其次研究考试说明，值得重视的几块内容为：对每一个知识点考查的层次要求（了解、理解
26、和掌握、灵活和综合运用） 、题型示例。考试说明有时会有更新，因此我们要及时对新旧考纲进行对比，找到变化的地方，说法不一致的地方，去揣摩变化后会在试题方面如何反映出来。特别是前一年没有而今年加上的考点更应注意，往往会在这个地方出题。在考纲中要注意对每个知识点的层次要求，对层次要求比较低的知识点，我们在训练时候就不要出的太难，要分清能力要求高的题目会在哪些方面去出题。一定要把握好度，不做无用功，但也不能把握不到位。对考纲中的题型示例的那些题目，我们也要重视，不能置之不理，题目放在这里，必然有它的道理，必然反映着命题者的某种意图，我们应从不同的侧面去考虑这些题目。对题型示例的题目的处理意见：每一个题
27、目要会用多种方法解答；分析每一个题目涉及的知识点；分析类型题目的难度；分析题目用到的思想与方法，并提炼出思想方法的实质； 可以试着改编示例中的题目。对考纲与考试说明的研究，不仅要让老师去做，也应该教会学生，特别是成绩好的同学去解读、揣摩，这样他们才能深深体会到哪些东西要掌握及掌握到什么程度。我们很多成绩好的同学往往会额外自己去找一些题目再做，这样他们就可以自己去识别、判断，不做无用功。第三研究高考真题，摸清规律，指导高考备考，高考题的两个功能：对单个试题深入拓展变形，研究类型方法；对近几年试题总结特点规律，指导后期复习。结合规律与考试说明，确定每一个内容的重点，高考备考复习的所有讲、练、考的题
28、目都是围绕重点进行。所以有老师对题目的筛选环节。新课标全国卷是 13 年时新增加的一套试题，但它和卷又有着联系：同一套命卷班子、同一个考试说明。因此对新课标卷的分析必定要与卷结合分析，不能孤立。注意卷卷的渗透、文理的渗透。在 14 年以前新课标全国卷中有些内容一直是固定角度考查，但在卷中有的考点有所突破。在 15 年的高考中已经有所反应, 2016 年应该也会如此. 3.强调训练的针对性九江历年的模拟试题质量非常高，都是老师依据课本精心创造或源自高考原题的改编，值得大家借鉴。（1）分层设计-视角不变【知识不变,角度不变】：以教材上的知识和角度为本，设计同类试题，起到举一练三的作用，解决考生基础
29、不牢的问题例如【2015 九江三模 17】已知数列 为各项非零的等差数列，其前 项和为 ，且 (nannS21na).nN(1)求数列 的通项公式；na(2)记 ，数列 的前 项和为 ，若 是 ， 的等比中项，求正整数 的值.1nnbnbnT21mTm【2015 全国卷 17】 为数列 的前 项和.已知 ， .Sna0na2na43nS（）求 的通项公式：na（）设 ,求数列 的前 项和.1nbnb考点：数列前 项和与通项的关系；等差数列定义与通项公式；裂项相消法求和三模和全国卷都是第一问先用数列第 项与前 项和的关系求出数列 的递推公式，可以判断数列na是等差数列，利用等差数列的通项公式即可
30、写出数列 的通项公式；第二问根据（）数列na n的通项公式，再用拆项消去法求其前 项和.bn（2）分层设计-视角拓展【知识不变,角度稍变】:以教材上的知识为本，但考查角度与教材不同，起到举一反三的作用，解决考生视角狭隘的问题例如【2015 九江一模 19 第二问】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学（男 30 女 20） ，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如右表：（单位：人）(1)能否据此判断有 的把握认为视觉和空间能力与性别有关？97.5%(2)经过多次测试后，甲每次
31、解答一道几何题所用的时间在 57 分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在 68 分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先 解 答 完 的 概 率 .(3)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 ，求 的分布列及数学期望 XEX下面临界值表仅供参考：.22()()(nadbcKd【2015 全国卷 4】投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为0.6几何题 代数题 总计男同学 22 8 30女同学 8 12 20总计 30 20 502()Pk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.00102.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
