1、开 始i=1, S=0S=S+ i1输出 S结 束否是第 3 题图2013i数 学本试卷共 21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 的共轭复数是（ ）z3i1i zA B C D3i3i【本题评价】直接考察复数基本概念。【解析】 故选D 3i1i=+iz2已知函数 的定义域为 ， 的定义域为 ()fxM()ln1)gxN则 （ ）MNAx |x-1 Bx|x1 Cx|-1x1 D 【本题评价】直接考察集合的基础知识与基本初等函数的
2、定义域。【解析】 ， 故选C1x1Nx3如图给出的是计算 35203 的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（ ）A B C Diii 2i【本题评价】本题主要考查程序框图的知识，根据框图的流程运行的结果确定空白执行框内容。【解析】因为分母为1，3，5，7，9，2013，所以应填入 故选Di4若变量 满足 则 的最大值是（ ）xy，2403xy， ， 3zxyA90 B80 C50 D40【本题评价】本题考查线性规划知识（本知识点高考出现的概率较大） ，也考查了数形结合的解题思想方法【解析】画出可行域（如图） ，在 点取最大值 答案： C(10,2)max10325z5记等比数列 的前 项
3、和为 ，若 ， ，则 （ ）nanS12aS4A2 B6 C16 D20【本题评价】本题考察等比数列及其前 项和为 的基础知识。n22 24侧侧侧【解析】 ， 故选D 221()13qSq42241()(1)210qSq6已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点, 则 的值为（ ）209xya2143xyaA B C4 D101【本题评价】本题考察椭圆、双曲线的几何性质等知识点。【解析】 故选 C7已知某四棱锥的三视图，如右图。则此四棱锥的体积为（ ）A3 B4 C5 D6【本题评价】本题考察三视图基础知识与棱锥体积公式（广东高考数学必考知识点） 。【解析】如图，四棱锥 AE EBDAC故选B1624
4、3V8如图是张大爷晨练时所走的离家距离 与行走的时间 之间的函数关系图，若用 点表示张大爷家的位置，()y()xM则张大爷散步行走的路线可能是（ ）【本题评价】本题考察函数与其图像关系。【解析】如图，第一段距离增加，第二段距离不变，显然只有 D 满足。故选 D9曲线 在点（ 1， ）处的切线方程为 ，则 等于（ 为常数） （ ）3yxam2yxnamn，A B C1 D22【本题评价】本题考察导数概念及几何意义，考察切线方程求法。【解析】 故选 B22331yxaa10设向量 ， ，定义一种向量积： 已知向量),(21),(21b ),(),(),( 212121 babab， ，点 P 在
5、的图象上运动，点 Q 在 的图象上运动，且满足(,)mnyxyfx（其中 O 为坐标原点） ，则 在区间 上的最大值是（ ）nPmOQ ()yfx21,A B C D3456【本题评价】新定义向量类型题。 （广东高考数学必考知识点） 。【解析】点 P 在 的图象上运动，点 Q 在 的图象上运动。所以，可设 ， 2yx()yfx 21(,)Px(,)Qxf则由 得，nOmQ，2211(,)(,)(,)xfxx ，即 ，12()f21()f又 ，即 ，()x23yx ， 时有， 故选 D21,ma()(1)6ff二、填空题（本大题共 5 小题，分为必做题和选做题两部分每小题 5 分，满分 20 分
6、）（一）必做题（第 9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答）11 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为 0的概率是( )【本题评价】本题考察古典概型等基础知识。【解析】个位数为 1,3579时，十位数为 2,468，个位数为 ,2468时，十位数为 1,3579，共 4个；个位数为 0时，十位数为 ,，共 5个别个位数为 0的概率是 519答案： 12已知 ，若 是它一条对称轴，则 ()2sin()(|)32fxx1x【本题评价】本题考察三角函数图像的性质。【解析】由已知得 ，由 代入得 ，kZ， 6kZ，又 ，所以 答案： |2613若 则 的值为 123()l
7、og().， ， ，xef(2)f【本题评价】本题考察分段函数、复合函数，指数、对数函数，函数的单调性等知识点。【解析】 答案： 1()(ffe（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14 （坐标系与参数方程选做题）直线 ： （ 为参数）与以 轴非负半轴为极轴建立极坐标系下的曲l2xtyx线 ： 图像相交所得弦长为 C2【本题评价】1参数方程与普通方程的互化； 2普通方程与极坐标方程的互化【解析】试题分析：曲线 ： （ 为参数）的直角坐标方程为 ， 在此直角坐标系C2xty 20xy下方程为： ，易得弦长为 答案： 24xy215 （几何证明选讲选做题）如图 2，在 中，斜边 ，直角
8、边 ，RtABC16AC如果以 C 为圆心的圆与 AB 相切于 ，则 的半径长为 D【本题评价】本题考查解直角三角形、圆切线的性质。【解析】连 则 ，在 中， ,， 03Bt sinD答案： 362CD三、解答题（本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16 （本小题满分 12 分）已知函数 231()sincos2fxxxR，（1）求函数 的最小值和最小正周期；()fx（2）设 的内角 的对边分别为 且 ， ，若 ，求 的值。ABC，ab，3()0fCsin2iBAab，【本题评价】本题考查倍角公式、和（差）角公式、简单已知值求角及正弦定理、余弦定理应用。【解析】
9、（1） ，3 分31cos2()sinsin(2)126xfxx则 的最小值是 ， 最小正周期是 ；6 分T（2） ，则 ，7 分()si()106fCsi()0C, ,所以 ，021266所以 ， ，9 分3因为 ，所以由正弦定理得 ，10 分siniBAba由余弦定理得 ，即 11 分22coscab223b由解得： ， 12 分117 （本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取 名学生，将他们40的期中考试数学成绩（满分 分，成绩均为不低于 分的整数）分成六段：0， ， ， 后得到如图的频率分布直方图40,5,6 9,（1 ）求图中实数 的值；a（2 ）若该校高一年级共有学生 人，
10、试估计该校高一年级期中考试数学64成绩不低于 分的人数；（3 ） 若从数学成绩在 与 两个分数段内的学生中随机选取0,5,10两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 的概率10【本题评价】本题考查直方图、概率。【解析】 （1）由于图中所有小矩形的面积之和等于 1所以 1 分10(.5.0120.5.1)a解得 2 分3a（2 ）成绩不低于 60 分的频率为 3 分(.0.85由于该校高一年级共有学生 640 人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分的人数约为 人5 分64.84（3 ）成绩在 分数段内的人数为 人，分别记为 ， 6 分0,54.2AB成
11、绩在 分数段内的人数为 人，分别记为 ， ， ， 7 分9101CDEF若从数学成绩在 与 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有： ，,9, ,AB， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，,AC,DAEF,B,CEF， ， 共 15 种9 分EF,如果两名学生的数学成绩都在 分数段内或都在 分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝40,590,1对值一定不大于 10.如果一个成绩在 分数段内，另一个成绩在 分数段内，那么这两名学生的数学90,1成绩之差的绝对值一定大于 10记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 ，则事件 包含M的基本事件有： ， ，
12、， ， ， ， 共 7 种11 分,AB,CD,E,CF,DE,F,E所以所求概率为 12 分715PM18 （本小题满分 14 分）在如图所示的几何体中， 是边长为 2 的正三角形， 平面 ABC，平AB2AE，面 平面 ABC，BD=CD，且 BCDBC（1）求证：AC平面 BDE；（2）求三棱锥 的体积。E【本题评价】本题考查线面平行的推理棱锥体积大小求法。本题用空间向量解亦可。贴合广东高考文科立体几何命题要求。【解析】 （1）分别取 的中点 ,连接BCA， ， MNP， ，,则 , ,且 ，DMNP， ， ， NAE因为 ， , 为 的中点，2所以 , ，1又因为平面 平面 ，所以 平
13、面 3 分ABC取分别 ， 的 、 ,连接 、 、 ，EPMPD又 平面 ,所以 ，DE ， . N12所以 ，且 ,因此四边形 为平行四边形，5 分DMNN所以 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，ACBEPBDE所以 平面 7 分ACB（2 ） 三棱锥 的体积 三棱锥 的体积，EDC，平面 平面 ABC，平面 三棱锥 的高为： 9 分DB3AM11 分1122BCSBEDCAMPN所以 14 分ECBD1233V三 棱 锥 -19 （本小题满分 14 分）数列 的前 n 项和为 ， anS213(*)nanN（1 ）设 ，证明：数列 是等比数列；nbab（2 ）求数列 的前 项和 ；nT（3
14、）若 ， 求不超过 的最大整数的值。12nc2015iicPP【本题评价】本题考查递推式变形、等比数列、错位求和、裂项求和等知识点，难易度把握恰当，符合广东省高考数学数列题命题要求。【解析】(1) 因为 213naSn，所以 当 时， ，则 12a，1 分1 当 2 时， 3()(1)naSn ，2 分所以 1n，即 n，所以 ()b ，而 12ba，4 分所以数列 n是首项为 2，公比为 的等比数列，所以 5 分12nb（2）由 (1)得 nb所以 ，nnT21.4312 ，7 分13n-得： ，8 分n.21110 分nnnT221（3）由(1)知 11分nacn(1)11()n， 13分
15、2nc所以 ，0152iiP11()()205234204故不超过 的最大整数为 14 分01420 （本小题满分 14 分）如图，抛物线 : 上一点 G20()ypx24()A，（1）求抛物线 的方程；G（2）设过点 与 轴垂直的直线为 ，过点 作一直线 与 交于 点， 是 关于 对称的直线， 与抛物线Ax0lA1lGB2l10l2l交于 点C当 绕 点转动时，试求线段 中点 的轨迹方程；1l BCM点 是 的内心，当直线为 的斜率 时，求 的 内切圆 标准方程。DB1l2kCD【本题评价】本题考查圆、圆的切线、三角形的内切圆、抛物线、二次方程、点到直线的距离等知识，有一定难度，是是否数学优
16、等生的门槛，符合广东省高考数学解析几何题命题要求。【解析】 （1）由 代入 得： 24()A，20()ypx4p抛物线 的方程 2 分C80yx（2）设 的方程： ，1l()y则 的方程： ，4 分l24x由 得 ，2()8y， 283216yxy即 ， 6分3160所以 ， ， 7 分4By4B28B同理 ， ， 8CCyCx所以 2BMy2BM所以 轨迹方程： （ ） 9 分4yx直线为 的斜率 ，11 分BC16BCk当直线为 的斜率 ，则 ， ，1l2k2218()4BCMx线为 的方程 ，即 4()yx0y线为 的方程为 ， 12分1l0又 在 上，可设 ，D0(2)t，由内切圆半径
17、 ，解得： ，13 分45r2106t21062452tr 的 内切圆 标准方程： 14分ABCD221065()()()xy21 （本小题满分 14 分）设函数 （其中 ） 2xfekR（1 ） 当 时,求函数 的单调区间和极值；kx（2 ） 证明：当 时，函数 在 上有且只有一个零点0+，fR【本题评价】本题考查导数及其应用（求单调区间、证明函数不等式）为背景，第一、二问主要包含二次函数、方程、不等式的探究。第一问能动笔的同学多，但分析、运算无错误的很少；第二问难度较大，符合广东省高考数学压轴题的命题要求。【解析】 （1）当 k=1 时, ,2()1xfe.1 分()()2xxfe当 变化
18、时 , 的变化如下表:x,fx由表可知, f(x)的增区间(-,0), (ln2, +), 减区间为(0, ln2). 极大值为-1, 极小值为.6 分2lnl（2 ） .()(1)2(2)xxxxfekeek当 x1 时, f(x)0, 所以 f(x)在(-,1) 上无零点, 故只需证明 f(x)在1, +)上有且只有一个零点.，若 , 当 x102ek时, , f(x)在1,+)上单调递增 , ()0fx,221(40feke所以 f(x)在1,+)上有且只有一个零点. 9 分若 , 则 ,(2ek()1,ln),(ln2,)fxk在 上 单 调 减 在 上 单 调 增f(1)=-k0, .21kkfee令 , 2(),tge12分(),0,)t tg在 上 单 增增 增减2()40,()2,).gtegt在 上 单 增.1fk所以 f(x)在1,+)上有且只有一个零点.综上得:f(x)在 R 上有且只有一个零点。14 分
