1、 1高考数学第一轮总复习试卷(十九)立体几何综合训练第 I 卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列命题正确的是( )A直线 a,b 与直线 l 所成角相等,则 a/bB直线 a,b 与平面 成相等角,则 a/bC平面 , 与平面 所成角均为直二面角,则 /D直线 a,b 在平面 外,且 a,ab,则 b/2空间四边形 ABCD,M ,N 分别是 AB、CD 的中点,且 AC=4,BD=6,则( )A1MN5 B2MN10C1MN 5 D2MN53已知 AO 为平面 的一条斜线,O 为
2、斜足,OB 为 OA 在 内的射影,直线 OC 在平面 内,且AOB=BOC=45,则 AOC 等于( )A30 B45 C60 D不确定4甲烷分子结构是:中心一个碳原子,外围四个氢原子构成四面体,中心碳原子与四个氢原子等距离,且连成四线段,两两所成角为 ,则 cos 值为( )A B C D3121215对已知直线 a,有直线 b 同时满足下面三个条件:与 a 异面;与 a 成定角;与 a 距离为定值 d,则这样的直线 b 有( )A1 条 B2 条 C4 条 D无数条6, 是不重合两平面,l,m 是两条不重合直线, / 的一个充分不必要条件是( )A ,且 l/, m/ B ,且 l/m,
3、 ml,Cl,m ,且 l/m Dl/,m/,且 l/m7如图正方体 中,E,F 分别为 AB, 的中点,则异面直线 与 EF 所成角的余1CAB1CCA1弦值为( )A B C D332368对于任一个长方体,都一定存在一点:这点到长方体的各顶点距离相等;这点到长方体的各条棱距离相等;这点到长方体的各面距离相等,以上三个结论中正确的是( )A B C D9在斜棱柱的侧面中,矩形最多有几个?2A2 B3 C4 D610正六棱柱的底面边长为 2,最长的一条对角线长为 ,则它的侧面积为( )52A24 B12 C D 111异面直线 a,b 成 80角,P 为 a,b 外的一个定点,若过 P 有且
4、仅有 2 条直线与 a,b 所成的角相等且等于 ,则角 属于集合( )A |0 40 B|4050 C|4090 D|5090 12从水平放置的球体容器的顶部的一个孔向球内以相同的速度注水,容器中水面的高度与注水时间 t 之间的关系用图象表示应为( )第 II 卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上)13正四棱锥 S-ABCD 侧棱长与底面边长相等,E 为 SC 中点,BE 与 SA 所成角的余弦值为_。14、 为两个不同平面,m ,n 是平面 , 外的两条不同直线,给出下面四个结论:m/n; m/;n,以其中三个为条件
5、,另一个为结论,写出你认为正确的一个命题。(按 形式写)_。 15已知 A,B,C,D 为同一球面上的四点,且连接每两点的线段长都等于 2,则球心到平面 BCD 的距离等于_。16斜三棱柱 中,侧面 的面积为 S, 到面 的距离是 a,则该三棱柱的1CB11A1BC体积是_。三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤)17 (本小题满分 12 分)已知平面 平面 =a,平面 平面 ,平面 平面 。b/a,b/。求证:a;b。18 (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面是以
6、ADC 为锐角的菱形。(1)试问:当ADC 为多大时,有 PACD;(2)当 PACD 时,求面 PAB 与面 PCD 所成角的大小。319 (本小题满分 12 分)三棱柱 中,AB=AC=a,BAC=90,顶点 1A在底面 ABC 上的射影为 BC 边的中点 M。1CBA(1)求证:BC 垂直于 ,A,M 三点确定的平面;(2)如果三棱锥 的体积为 ,求棱锥侧面 与底面 ABC 所成锐二面角的大小。13a21B20 (本小题满分 12 分)已知ABC 和DBC 中,AB=BC=BD=a,ABC=DBC=120,沿两三角形的公共边 BC 折成 60的二面角。求:(1)AD 和平面 DBC 所成
7、的角;(2)二面角 A-BD-C 的正切值。21 (本小题满分 12 分)已知:如图,四边形 ABCD,EADM 和 MDCF 是个三边长为 a 的全等的正方形,点 P、Q 分别是 ED 和AC 的中点。求:(1)PQ 与 AD 所成的角的大小;(2)平面 EBF 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值;(3)多面体 EFM-ABCD 的体积。22 (本小题满分 14 分)4如图,甲、乙是边长为 4a 的两块正方形钢板,现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱,将乙裁剪焊接成一个正四棱锥,使它们的全面积都等于一个正方形的面积(不计焊接缝的面积) 。(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中,并作简要说明;(2
8、)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小,并证明你的结论。参考答案一、选择题1D A,B,C 均可找出反例排除2A 取 AD 中点 P, 中,PM=3,PN=2,由三角形三边大小关系即得 A。MN3C 由 60,21cosscos AOCBAO4A 一个正四面体的各顶点与中心连线所成的角。5D 先考虑一特例, ,在 a 垂直半径为 d 的圆面的边界上任一切线均可,有无数条。 b 不垂直,b也可类似得到。6C l 与 m 不相交就不充分,B. 不充分。C.也不充分。 D.充分不必要57B 取 中点 ,连 ,则 为所求,在 中计算。1CAOF1E1OEF8B 只有(1)正确,此点为对角线的交
9、点。9A 最多 2 个,若有 3 个,则底面有三条边与侧棱垂直,也即底面一定存在两相交直线与侧棱垂直。10A 易计算,底面半径为 2,进而计侧棱长为 2 246侧S11B 将两异面直线平移到 O 点, , 相交成 80,100两对角。过 P 作直线与两直线成 40角ab有一条。4050之间有 2 条。50有 3 条。5090有 4 条。12A 体积等速增加,在球内高度变化,先快,再慢,又快。选 A二、填空题13 14 或 315 166as2提示:13取 AC 中点 O,EO/SA, 为所求角,在 中求解EBEOB15依题意知,这四点为一个正四面体的顶点,球为该四面体的外接球;所求距离为内接球
10、半径,两球同心,距离为四面体高的 。4116将其分为三棱锥 。四棱锥 且 。21AC11CSaVBCA311 aSV32三、解答题17 (1)如图,在 内过一点 P 作 m 垂直于 的交线,与则 。m过 P 作 n 垂直 的交线,与则 ,a, , mnP 。(2)过 b 作平面 S 交平面 于 ,b则 ,/同理可在 作/6 /b 。平 面 a, 。b/ 。18 (1)如图,过 P 作 PHCD 于 H,平面 PCD 平面 ABCDPH平面 ABCD。AH 是 PA 在平面 ABCD 上的射影,又 PC=PDH 为 CD 中点,当 时, 为正三角形,AHCD,又 PH平面 ABCD60ADCAD
11、PACD(2)过 P 作直线 l/。PHl。 为所求二面角的平面角又 为等腰直角三角形,H 45A19 (1)连结 AM。MA1M 是 在平面 ABC 上的射影, 平面 ABC,1BC 在平面 ABC 上, 。BCA17由 AB=AC,M 是 BC 中点,有 。BCABC平面 。A1(2)过 M 在平面 ABC 内作 于 N,连结 ,A1则 。BN1 是侧面 与底面 ABC 所成的锐二面角的平面角。A1A由于三棱锥 的高等于 的长,1CM又三棱锥 的体积为 ,三角形 的面积为 ,1B32a1CBA2a ,3123Aa 。M1 为等腰直角三角形,M 为斜边中点, ,BC ABMN ,aN2在 中
12、, ,ARt1 3tn1NA 即侧面 与底面 ABC 所成的锐二面角为 60。601 1B20 (1)过 A 点作 交 CB 的延长线于 O,连 DO,取 DO 中点 K,连 AK。BO ,COD 的二面角 的平面角为 60,CCO面 ADO面 AOD面 DOC,在等边三角形 AOD 中, ,K8 面 BOD。AKAD 与平面所成角为 60ADO(2)过 K 作 KEBO 于 E,AK面 BDK 为 A-BD-C 的平面角的补角。E在 中 ,aAOa432,83故 。tnEK二面角 A-BD-C 正切值为 。321 (1)过 P 作 PHAE 于 H,过 Q 作 QNAB 于 N,连结 HN。
13、则 。N/AD2H四边形 PHNQ 是平行四边形。PQ/HN。又 ,且 。BE, AE则 AD 平面 EAB。而 HN 平面 EAB。而 HN 平面 EAB,AD HN,即 AD PQ。PQ 与 AD 所成的角为 90。(2)过 B 作 RS/AC 交 DA 的延长线于点 R,交 DC 的延长线于点 S。取 EF 的中点 O,连结OB、OQ 、QB。正方形 ABCD,QB AC。又RS/AC,QB RS。OQ 平面 ABCD,由三垂线定理可得 OB RS。9 为平面 EBF 与平面 ABCD 所成二面角的平面角在 中,OBQOQBRt, ,aa2 。tnBQ平面 EBF 与平面 ABCD 所成
14、锐二面角的正切值为 。2(3)将图形补成一个正方体 ABCDMEGFBCABCDEFMVV体a213a6522 (1)将正方形甲按图中虚线剪开,以两个正方形为底面,四个长方形为侧面,焊接成一个底面边长为2a,高为 a 的正四棱柱。将正方形乙按图中虚线剪开,以两个长方形焊接成边长为 2a 的正方形为底面,三个等腰三角形为侧面,两个直角三角形合拼成为一侧面,焊接成一个底面边长为 2a,斜高为 3a 的正四棱锥。(2)正四棱柱的底面边长为 2a,高为 a,其体积 。324)(aV锥10又正四棱锥的底面边长为 2a,高为 ,a2)a3(h2其体积 。28)(31aV锥 ,0916)8(422 即 ,33,a 锥柱 V故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。(说明:裁剪方式不惟一,计算的体积也不一定相等)