1、 1高考数学第一轮总复习试卷（十九）立体几何综合训练第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列命题正确的是（ ）A直线 a，b 与直线 l 所成角相等，则 a/bB直线 a，b 与平面 成相等角，则 a/bC平面 ， 与平面 所成角均为直二面角，则 /D直线 a，b 在平面 外，且 a，ab，则 b/2空间四边形 ABCD，M ，N 分别是 AB、CD 的中点，且 AC=4，BD=6，则（ ）A1MN5 B2MN10C1MN 5 D2MN53已知 AO 为平面 的一条斜线，O 为
2、斜足，OB 为 OA 在 内的射影，直线 OC 在平面 内，且AOB=BOC=45，则 AOC 等于（ ）A30 B45 C60 D不确定4甲烷分子结构是：中心一个碳原子，外围四个氢原子构成四面体，中心碳原子与四个氢原子等距离，且连成四线段，两两所成角为 ，则 cos 值为（ ）A B C D3121215对已知直线 a，有直线 b 同时满足下面三个条件：与 a 异面；与 a 成定角；与 a 距离为定值 d，则这样的直线 b 有（ ）A1 条 B2 条 C4 条 D无数条6， 是不重合两平面，l，m 是两条不重合直线， / 的一个充分不必要条件是（ ）A ，且 l/， m/ B ，且 l/m，
3、 ml，Cl，m ，且 l/m Dl/，m/，且 l/m7如图正方体 中，E，F 分别为 AB， 的中点，则异面直线 与 EF 所成角的余1CAB1CCA1弦值为（ ）A B C D332368对于任一个长方体，都一定存在一点：这点到长方体的各顶点距离相等；这点到长方体的各条棱距离相等；这点到长方体的各面距离相等，以上三个结论中正确的是（ ）A B C D9在斜棱柱的侧面中，矩形最多有几个？2A2 B3 C4 D610正六棱柱的底面边长为 2，最长的一条对角线长为 ，则它的侧面积为（ ）52A24 B12 C D 111异面直线 a，b 成 80角，P 为 a，b 外的一个定点，若过 P 有且
4、仅有 2 条直线与 a，b 所成的角相等且等于 ，则角 属于集合（ ）A |0 40 B|4050 C|4090 D|5090 12从水平放置的球体容器的顶部的一个孔向球内以相同的速度注水，容器中水面的高度与注水时间 t 之间的关系用图象表示应为（ ）第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上）13正四棱锥 S-ABCD 侧棱长与底面边长相等，E 为 SC 中点，BE 与 SA 所成角的余弦值为_。14、 为两个不同平面，m ，n 是平面 ， 外的两条不同直线，给出下面四个结论：m/n； m/；n，以其中三个为条件
5、，另一个为结论，写出你认为正确的一个命题。（按 形式写）_。 15已知 A，B，C，D 为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于 2，则球心到平面 BCD 的距离等于_。16斜三棱柱 中，侧面 的面积为 S， 到面 的距离是 a，则该三棱柱的1CB11A1BC体积是_。三、解答题（本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）已知平面 平面 =a，平面 平面 ，平面 平面 。b/a，b/。求证：a；b。18 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面是以
6、ADC 为锐角的菱形。（1）试问：当ADC 为多大时，有 PACD；（2）当 PACD 时，求面 PAB 与面 PCD 所成角的大小。319 （本小题满分 12 分）三棱柱 中，AB=AC=a，BAC=90，顶点 1A在底面 ABC 上的射影为 BC 边的中点 M。1CBA（1）求证：BC 垂直于 ，A，M 三点确定的平面；（2）如果三棱锥 的体积为 ，求棱锥侧面 与底面 ABC 所成锐二面角的大小。13a21B20 （本小题满分 12 分）已知ABC 和DBC 中，AB=BC=BD=a，ABC=DBC=120，沿两三角形的公共边 BC 折成 60的二面角。求：（1）AD 和平面 DBC 所成
7、的角；（2）二面角 A-BD-C 的正切值。21 （本小题满分 12 分）已知：如图，四边形 ABCD，EADM 和 MDCF 是个三边长为 a 的全等的正方形，点 P、Q 分别是 ED 和AC 的中点。求：（1）PQ 与 AD 所成的角的大小；（2）平面 EBF 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值；（3）多面体 EFM-ABCD 的体积。22 （本小题满分 14 分）4如图，甲、乙是边长为 4a 的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积） 。（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；（2
8、）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。参考答案一、选择题1D A，B，C 均可找出反例排除2A 取 AD 中点 P， 中，PM=3，PN=2，由三角形三边大小关系即得 A。MN3C 由 60,21cosscos AOCBAO4A 一个正四面体的各顶点与中心连线所成的角。5D 先考虑一特例， ，在 a 垂直半径为 d 的圆面的边界上任一切线均可，有无数条。 b 不垂直，b也可类似得到。6C l 与 m 不相交就不充分，B. 不充分。C.也不充分。 D.充分不必要57B 取 中点 ，连 ，则 为所求，在 中计算。1CAOF1E1OEF8B 只有（1）正确，此点为对角线的交
9、点。9A 最多 2 个，若有 3 个，则底面有三条边与侧棱垂直，也即底面一定存在两相交直线与侧棱垂直。10A 易计算，底面半径为 2，进而计侧棱长为 2 246侧S11B 将两异面直线平移到 O 点， ， 相交成 80，100两对角。过 P 作直线与两直线成 40角ab有一条。4050之间有 2 条。50有 3 条。5090有 4 条。12A 体积等速增加，在球内高度变化，先快，再慢，又快。选 A二、填空题13 14 或 315 166as2提示：13取 AC 中点 O，EO/SA， 为所求角，在 中求解EBEOB15依题意知，这四点为一个正四面体的顶点，球为该四面体的外接球；所求距离为内接球
10、半径，两球同心，距离为四面体高的 。4116将其分为三棱锥 。四棱锥 且 。21AC11CSaVBCA311 aSV32三、解答题17 （1）如图，在 内过一点 P 作 m 垂直于 的交线，与则 。m过 P 作 n 垂直 的交线，与则 ，a, ， mnP 。（2）过 b 作平面 S 交平面 于 ，b则 ，/同理可在 作/6 /b 。平 面 a, 。b/ 。18 （1）如图，过 P 作 PHCD 于 H，平面 PCD 平面 ABCDPH平面 ABCD。AH 是 PA 在平面 ABCD 上的射影，又 PC=PDH 为 CD 中点，当 时， 为正三角形，AHCD，又 PH平面 ABCD60ADCAD
11、PACD（2）过 P 作直线 l/。PHl。 为所求二面角的平面角又 为等腰直角三角形，H 45A19 （1）连结 AM。MA1M 是 在平面 ABC 上的射影， 平面 ABC，1BC 在平面 ABC 上， 。BCA17由 AB=AC，M 是 BC 中点，有 。BCABC平面 。A1（2）过 M 在平面 ABC 内作 于 N，连结 ，A1则 。BN1 是侧面 与底面 ABC 所成的锐二面角的平面角。A1A由于三棱锥 的高等于 的长，1CM又三棱锥 的体积为 ，三角形 的面积为 ，1B32a1CBA2a ，3123Aa 。M1 为等腰直角三角形，M 为斜边中点， ，BC ABMN ，aN2在 中
12、， ，ARt1 3tn1NA 即侧面 与底面 ABC 所成的锐二面角为 60。601 1B20 （1）过 A 点作 交 CB 的延长线于 O，连 DO，取 DO 中点 K，连 AK。BO ，COD 的二面角 的平面角为 60，CCO面 ADO面 AOD面 DOC，在等边三角形 AOD 中， ，K8 面 BOD。AKAD 与平面所成角为 60ADO（2）过 K 作 KEBO 于 E，AK面 BDK 为 A-BD-C 的平面角的补角。E在 中 ，aAOa432,83故 。tnEK二面角 A-BD-C 正切值为 。321 （1）过 P 作 PHAE 于 H，过 Q 作 QNAB 于 N，连结 HN。
13、则 。N/AD2H四边形 PHNQ 是平行四边形。PQ/HN。又 ，且 。BE, AE则 AD 平面 EAB。而 HN 平面 EAB。而 HN 平面 EAB，AD HN，即 AD PQ。PQ 与 AD 所成的角为 90。（2）过 B 作 RS/AC 交 DA 的延长线于点 R，交 DC 的延长线于点 S。取 EF 的中点 O，连结OB、OQ 、QB。正方形 ABCD，QB AC。又RS/AC，QB RS。OQ 平面 ABCD，由三垂线定理可得 OB RS。9 为平面 EBF 与平面 ABCD 所成二面角的平面角在 中，OBQOQBRt， ，aa2 。tnBQ平面 EBF 与平面 ABCD 所成
14、锐二面角的正切值为 。2（3）将图形补成一个正方体 ABCDMEGFBCABCDEFMVV体a213a6522 （1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为 a 的正四棱柱。将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为 2a 的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面边长为 2a，斜高为 3a 的正四棱锥。（2）正四棱柱的底面边长为 2a，高为 a，其体积 。324)(aV锥10又正四棱锥的底面边长为 2a，高为 ，a2)a3(h2其体积 。28)(31aV锥 ，0916)8(422 即 ，33,a 锥柱 V故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。（说明：裁剪方式不惟一，计算的体积也不一定相等）
