1、灰色系统理论的研究GM(1,1)预测与关联度的拓展摘 要：科学地 预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中， 预测都是必不可少的重要环节 ，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开 创以来一直深受许多学者的重 视，它建模不需要太多的 样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有 较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导 GM（1,1）模型，另外 对灰关联度进 行了进一步的改进， 让改进的计算式具有唯一性和规范性 。通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了 GM(1,1)预测模型，并预测
2、了 19934年的传染病发病率。另外对传 染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论The Research of Grey System TheoryGM（1,1) prediction and the expansion of correlationxueshenping Instructor: tangshaofangAbstract：Science has not yet occurred to predict the fundamental thing
3、 is to predict the purpose and mission. Whether individuals or organizations, in developing future-oriented strategy and planning process, the forecasts are essential and important aspect, which is an important prerequisite for scientific decision-making. Among the many prediction methods, the gray
4、prediction model has been well received since its inception attention of many scholars, it does not require much sample modeling, does not require a better distribution of the sample was calculated, and has strong adaptability less , gray model widely used in various fields and has made brilliant ac
5、hievements. This paper is derived GM (1,1) model, the other on the gray correlation was further improved, so that the improved formula is unique and normative. University by giving examples of the incidence of infectious diseases, establishing the GM (1,1) prediction model and predict the incidence
6、of infectious diseases in 1993. In addition to the high incidence of infectious diseases, dysentery, hepatitis, malaria, made the three diseases, correlation analysis, found that dysentery is most closely with the infectious disease, and hepatitis, malaria and infectious diseases, the closeness of t
7、he order of hearing. Key words：Grey prediction model ; Grey relational grade;Grey system theoryI目 录1、引言 .11.1、研究背景 .11.1.1、国内研究现状 .11.1.2、国外研究现状 .11.2、研究意义 .12、灰色系统及灰色预测的概念 .22.1、灰色系统理论发展概况 .22.1.1、灰色系统理论的提出 .22.1.2、灰色系统理论的研究对象 .22.1.3、灰色系统理论的应用范围 .22.1.4、三种不确定性系统研究方法的比较分析 .32.2、灰色系统的特点 .32.3、常见灰色系统
8、模型 .42.4、灰色预测 .42.5、基本概念 .42.5.1、灰数的概念 .42.5.2、灰色生成数列 .52.5.3、累加生成 .52.5.4、累减生成 .52.5.5、加权邻值生成 .52.5.6、关联度 .53、简单的灰色预测 GM(1,1)预测 .63.1、GM(1,1)预测模型的基本原理 .63.2、GM(1,1)模型检验 .93.2.1、残差检验 .93.2.2、关联度检验 .93.2.3、后验差检验 .9II3.3、GM(1,1)残差模型 .103.4、GM(1,N)模型 .113.5、灰色系统建模的基本思路 .124、灰色关联度分析 .124.1、灰色关联分析理论及方法 .
9、124.2、灰色关联技术的应用 .134.3、灰色关联度计算式及改进 .135、传染病的问题 .155.1、传染病发病率的的预测 .155.2、三种传染病的关联分析 .176、小 结 .18参考文献： .19附 录 .201灰色系统理论的研究GM(1,1)预测与关联度的拓展数学与应用数学 081 班 许申平 指导教师 唐少芳1、引言模型按照对研究对象的了解程度可分为：黑箱模型、白箱模型、灰箱模型。黑箱模型：信息缺乏，暗，混沌。白箱模型：信息完全，明朗，纯净。灰箱模型：信息不完全，若明若暗，多种成分。1.1、研究背景1.1.1、国内研究现状 历史上，普遍认为信息不完全的系统是不可解的。1982
10、年，北荷兰出版社公司出版的Systems (2) 是科学方法论上的重大进展, 具有原创性的科学意义和深远的学术影响 ，是对系统科学的新贡献。22、灰色系统及灰色预测的概念2.1、灰色系统理论发展概况2.1.1、灰色系统理论的提出 著名学者邓聚龙教授于 20 世纪 70 年代末、80 年代初提出；诞生标志：邓教授第一篇灰色系统论文 “ The Control Problems of Grey Systems”，发表于北荷兰出版公司期刊 System&Control Letter, 1982, No.5。2.1.2、灰色系统理论的研究对象 灰色系统产生于控制理论的研究中。若一个系统的内部特征是完全
11、已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。2.1.3、灰色系统理论的应用范围在工程技术、社会、经济、农业、生态、环境等各种系统中经常会遇到信息不完全的情况。比如：农业方面，农田耕作面积往往因许多非农业的因素而改变，因此很难准确计算农田产量、产值，这是缺乏耕地面积信息；生物防治方面，害虫与天敌间的关系即使是明确的，但天敌与饵料、害虫与害虫间的许多关系却不明确，这是
12、缺乏生物间的关联信息；一项土建工程，尽管材料、设备、施工计划、图纸是齐备的，可是还很难估计施工进度与质量，这是缺乏劳动力及技术水平的信息；一般社会经济系统，除了输出的时间数据列（比如产值、产量、总收入、总支出等）外，其输入数据列不明确或者缺乏，因而难以建立确定的完整的模型，这是缺乏系统信息；工程系统是客观实体，有明确的“内” 、 “外”关系（即系统内部与系统外部，或系统本体与系统环境） ，可以较清楚地明确输入与输出，因此可以较方便地分析输入对输出的影响，可是社会、经济系统是抽象的对象，没有明确的“内” 、 “外”关系，不是客观实体，因此就难以分析输入（投入）对输出（产出）的影响，这是缺乏“模型
13、信息” （即用什么模型，用什么量进行观测控制等信息） 。信息不完全的情况归纳起来有：元素（参数）信息不完全；结构信息不完全；关系信息（特指“内” 、 “外”关系）不完全；运行的行为信息不完全。一个商店可看作是一个系统，在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下，可算出该店的盈利大小、库存多少，可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等，这样的系统是白色系统。遥远的某个星球，也可以看作一个系统，虽然知道其存在，但体积多大，质量多少，距离地球多远，这些信息完全不知道，这样的系统是黑色系统。人体是一个系统，人体的一些外部参数（如身高、体温、脉搏等）是已知的，而其他一些参数，如人体的穴位有多少，穴位的
14、生物、化学、物理性能，生物的信息传递等尚未知道透彻，这样的系统是灰色系统。3显然，黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。世界上没有绝对的白色系统，因为任何系统总有未确知的部分，也没有绝对的黑色系统，因为既然一无所知，也就无所谓该系统的存在了。2.1.4、三种不确定性系统研究方法的比较分析项目 灰色系统 概率统计 模糊数学研究对象 贫信息不确定 随机不确定 认知不确定基础集合 灰色朦胧集 康托集 模糊集方法依据 信息覆盖 映射 映射 途径手段 灰序列算子 频率统计 截集数据要求 任意分布 典型分布 隶属度可知侧重点 内涵 内涵 外延目标 现实规律 历史统计规律 认知表达特色 小样本 大样本 凭经验
15、表 12.2、灰色系统的特点灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的 “小样本” 、 “贫信息”不确定型系统的研究对象。（1）用灰色数学来处理不确定量，使之量化。在数学发展史上，最早研究的是确定型的微分方程，即在拉普拉斯决定论框架内的数学。他认为一旦有了描写事物的微分方程及初值，就能确知事物任何时候的运动。随后发展了概率论与数理统计，用随机变量和随机过程来研究事物的状态和运动。模糊数学则研究没有清晰界限的事物，如儿童和少年之间没有确定的年龄界限加以截然划分等，它通过隶属函数来使模糊概念量化，因此能用模糊数学来描述如语言、不精确推理以及若干人文科学。灰色系统理论则认为不确定量是灰数，用灰色
16、数学来处理不确定量，同样能使不确定量予以量化。不确定量 量化（用确定量的方法研究）1、概率论与数理统计； 2、模糊数学； 3、灰色数学（灰色系统理论）（2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律。研究灰色系统的关键是如何使灰色系统白化、模型化、优化。灰色系统视不确定量为灰色量。提出了灰色系统建模的具体数学方法，它能利用时间序列来确定微分方程的参数。灰色预测不是把观测到的数据序列视为一个随机过程，而是看作随时间变化的灰色量或灰色过程，通过累加生成和累减生成逐步使灰色量白化，从而建立相应于微分方程解的模型并做出预报。这样，对某些大系统和长期预测问题，就可以发挥作用。（3）灰色系统理论能处理贫信息系统。
17、灰色预测模型只要求较短的观测资料即可，这和时间序列分析，多元分析等概率统计模型要求较长资料很不一样。因此，对于某些只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具。1，2，342.3、常见灰色系统模型GM(1,1)模型GM(1,N)模型GM(0,N)模型GM(2,1)模型Verhulst 模型目前，最常用、研究最多的是 GM(1,1)模型。2.4、灰色预测灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测
18、是用灰色模型 GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：(1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。(2) 畸变预测（灾变预测） 。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。(4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。上述灰预测方法的共同特点是：a.允许少数据预测；b.允许对
19、灰因果律事件进行预测，比如: 灰因白果律事件 在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。 白因灰果律事件 在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预测。c.具有可检验性，包括：建模可行性的级比检验（事前检验） ，建模精度检验（模型检验） ，预测的滚动检验（预测检验） 。2.5、基本概念2.5.1、灰数的概念在灰色系统中，灰数（或灰色数）是指信息不完全的数，例如：“那人的身高约为 170cm、体重大致为 60kg”，这里的“（约为
20、）170（cm） ”、 “60”都是灰数，分别记为 、 。又如，1706“那女孩身高在 157160cm 之间” ，则关于身高的灰数 。记 为灰数 的白化6,5)(h默认数，简称白化数，则灰数 为白化数 的全体。灰数有离散灰数（ 属于离散集）和连续灰5数（ 属于某一区间） 。灰数的运算符合集合运算规律。2.5.2、灰色生成数列在灰色系统理论中，把随机变量看成灰数，即是在指定范围内变化的所有白色数的全体。对灰数的处理主要是利用苏剧处理方法寻求数据间的内在规律，通过对已知数据列中的数据尽心处理而产生新的数据列，以此来研究寻找数据的规律性，这种方法称为数据的生成。数据生成的常用方式有累加生成、累减生
21、成和加权累加生成。2.5.3、累加生成把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生成过程（Accumulated Generating Operation，简称 AGO ） 。由累加生成过程所得的数列称为累加生成数列。设原始数列为 ，令)(,)2(,1(00)0 nxx ,2,111 nkiki 称所得到的新数列 为数列 的 1 次累加生成数列。类似地有)(,)(,()1 )0(x，,1) rixxkirr 称为 的 次累加生成数列。)0(xr2.5.4、累减生成对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程（IAGO） 。如果原始数据列为 ，令)(,)2(,1(1)1
22、 nxx称所得到的数列 为 的 1 次累减生成数列。3)()(0 kkx )0(x)(注：从这里的记号也可以看到，从原始数列 ，得到新数列 ，再通过累减生成可以还原出原)0( 1始数列。实际运用中在数列 的基础上预测出 ，通过累减生成得到预测数列 。)1(x1x)0(x2.5.5、加权邻值生成设原始数列为 ，称 为数列 的邻值，)(,)2(,(00)0 n )(,1(0)0k)0(为后邻值， 为前邻值。对于常数 ，令)1()0kxkx,nkxz ,321)0()0(0( 由此得到的数列 称为数列 在权 下的邻值生成数，权 也称为生成系数。)(特别地，当生成系数 时，则称5. nkxz ,32)
23、,1(5.)(.)()000 为均值生成数，也称等权邻值生成数。2.5.6、关联度a、关联系数设 ，nXXk000 ,.2,1nXXk000,.2,1则关联系数定义为： ktkk 0000 maxmin)( 式中: 为第 k 个点 与 的绝对误差； 6 为两级最小差；kX00min 为两级最大差；ax 称为分辨率，01,一般取 =0.5 ；对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。b、关联度称为 与 的关联度nkR1kX003、简单的灰色预测GM(1,1)预测目前使用座广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的 GM(1,
24、1)模型。GM(1,1)模型是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间数列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型 GM(1,1)的预测将是非常成功的。3.1、GM(1,1)预测模型的基本原理设 为 原 始 数 列 ， 其 1 次 累 加 生 成 数 列 为)(,)2(,1(00)0 nxx， 其 中 定 义 的 灰 导 数 为,11)(x nkixki ,2,)(101 )1(x)()( 1)(0 kd令 为数列 的邻值生成数列，即,3),2(11()1( nxz1x)()()(1)(kxkz于是定义 GM(1,1)的灰微分方程模型为 bazd)()(1即 (1)kkx0在式(1)中， 称为灰导数， 称为发展系数， 称为白化背景值， 称为灰作)(0kx )(1zb用量。将时刻 代入(1)式有n,32bnaznxzx)()()()(1010 (1)引入矩阵向量记号：
