1、0波动方程的简谐平面波解在建立了波动方程之后，我们来讨论其解的形式及其特性。1、简谐平面波（1）波动方程的简谐平面波解声波在空间中传播，其传播方向和波阵面垂直。平面波是波阵面是平面的声波，而简谐平面波是波阵面（对简谐波而言，波阵面也是等相位面）是平面的简谐声波。具有任意波形的声波可以通过付里叶变换分解为多个具有不同频率的简谐平面波的叠加。因此，简谐波传播是波动传播的基础。一般简谐平面波的声压幅值在等相面上有一定的分布。这里只讨论声压幅值在等相面上处处相同（均匀平面波）的简单情况，较为复杂的非等声压幅值平面波（非均匀平面波）在后面的学习中会遇到。对一维均匀简谐平面波，声压幅值可以只用一个坐标来描
2、述。若取平面波的传播方向为 轴正方向，假设波动方程中 为常数，则波动方程的均匀简谐平xc面波解可以分离变量有如下形式：， (2-23)(,)()pxtTt其中， 和 分别为 的空间坐标相关因子和时间相关因子。将(2-23)()pTt式代入到 (2-15)中，并分离变量，得， (2-24)2221()()dtcdpxt其中， 为分离常数。由(2-24)式可得两个方程：2， (2-22()()0dTtt25)。 (2-26)22()()pxkdt其中， ，为常数。22kc(2-25)式的两个特解为 和 ，后者描述具有“负频率”的振动，无jte()jt实际意义，只保留 ；(2-26) 式的两个特解为
3、 和 。由此得到波动方程jt jkxejkx的简谐平面波解为。 (2-27)jt-kxjt+kx(,)(,)(,) =AepxtpB对推导过程中几个量物理意义的讨论：1 由(2-25)的解 可以看出， 是简谐波的圆频率，也可以理解为：在简谐波jte传播的过程中，介质中某一质点经过单位时间变化的相位值(对应着周期数)。先讨论(2-27)式的第一项 。当 时，声压 在 处的值(状(,)pxt0(,)pxt0态)为 ；当 时，在 位置上， 的值也为 。这说0kxAe1t01kkxAe明由 描述的声波在 时间间隔上，由 位置传播到了 位置(,)pt 0x01t上，即声波传播了距离 。01xtk由此可知
4、，i. 描述的是沿 轴正方向传播的声压幅值为 的均匀简(,)ptxA谐平面波；ii. 声传播的速度是： 。回顾 的定义(2-9)式，当时我们还不cc清楚这个量的真实物理意义，在此得到了明确。另外一种解释方法：观察者站在等相面上，等相面将向波前进方向移动。此时，等相面的相位值不随时间变化而变化。因此有，0dtkx即 。t由此得。dxckt同样道理， 描述的是沿 轴负方向传播的声压幅值为 的均匀简谐(,)pxt A平面波。(3) ， 是简谐平面波的频率， 是声波的速度，由 和kcc2fc（ 和 分别为声波的频率和波长）可知， 。波长 的意义可以理解f2k为：沿波传播方向，不同质点的振动状态不同，波
5、长 这样一个距离上，x不同质点的振动状态刚好变化一个周期 。也可以直观理解为：在单位kx长度上，不同质点的振动状态变化的周期数，亦即表示波动状态沿空间上变化的快慢。类比时间域的周期和圆频率， 可以理解为空间域的周期，而 可以k理解为空间域的频率。为和时间域频率区分开来，我们把空间域的频率 称为2波数。(4) (2-24)式中的分离变量常数取纯负数 ，为何不取纯正数 ？理论上，22两者都应该保留。但当分离变量常数取纯正数 时，分离变量后的时间相关部分的微分方程为。22()()0dTtt该方程的解为 ，第一项和第二项分别是随时间指数减小和增加的函ttAeB数，而不代表波动，在此无意义，故此舍去。通
6、过求解波动方程，我们已经得到了均匀简谐平面波的声压。下面我们进一步讨论均匀简谐平面波的质点振速，并由此给出其声强。由运动方程(2-14)式，并分别代入沿 轴正、反方向传播的均匀简谐平面波x的声压可得质点振速为。 (2-28)0011(,)=jtkxpuxtdtexc由(2-22)式，沿 轴正、反方向传播的均匀简谐平面波的声强分别为， (2-29a)0002201Re =cos()cos()A1 TIpudtAtkxtkxdtpu。 (2-29b)0222001Re1 =-TIdtpcuc两式中， ， 。(2-29b)式右端的“-”号表示声能流沿 轴反方向0pA0u x传播。由(2-29a)和
7、(2-29b)两式可以看出，均匀简谐平面波的声强不随距离变化，3即均匀简谐平面波声强不随距离衰减。这是其非常重要的一个物理特征。为方便记忆，可将声功率、声压幅值、质点振速幅值及阻抗同交流电中电功率、电压幅值、电流幅值及电阻相类比。（2）声波传播速度我们在(2-9)式中定义，2sPc经近似得到了，0, 0sdc并在前一小节的讨论中知道 的物理意义是声波在介质中的传播速度。比值 代表了介质的可压缩性。如果声波在介质中的传播过程是, 0()sdP绝热的，在平衡态附近，给定压差 ，若 变化很小，介质中声波的传播速dP度就快。否则，介质中声波的传播速度就慢。如在金属中的声波速度较快，而在气体中声波的速度
8、较慢。（3）介质特性阻抗先定义介质的声阻抗率为声场中某点声压与振速之比：。 (2-30)upZ其中， 和 分别为声场的声压和质点振速。声阻抗率是一个复数。它的幅值pu表示在介质中产生单位质点振速所需的声压大小；它的相位表示声场中声压和质点振速的相位差。后者可以理解为给介质中的某质点加一声压，而该质点的振速没有立即反应，其状态较声压状态有一个延时（相位差） 。对于所有形式的声波，我们都可以通过(2-30)式求得其声阻抗率，或者说(2-30)式是一个对所有声波普适的定义。4对于平面波而言，声阻抗率为。 (2-31)cZ0其中，符号“+”为沿 轴正向传播平面波的声阻抗率；符号“-”为沿 轴负向x x
9、传播平面波的声阻抗率。平面波的声阻抗率有如下特点： 平面波的声阻抗率是实数，表明声压和振速处处相同（正向波）或反相（反向波） 。这表明声能全部传播到后面位置。声压和振速之间存在相位差时，通过计算声强可以看出相位差对能量传递的影响。 （自行验证） 平面波的声阻抗率和声波的声压幅值无关，和声波频率无关，只和介质本身的参数密度 及声速 有关。鉴于平面波声阻抗率是介质的特性常数，我们把0c平面波的声阻抗率 称为介质的特性阻抗。其它形式声波的声阻抗率不仅和介质参数有关，还和声波参数（如频率、声压幅值大小等）相关。不能用其阻抗率作为介质自身的特性参数。（4）平面波在两种不同均匀介质分界面上的反射和折射声波
10、在海洋中传播，海面是海水介质和空气介质的分界面；海底是海水介质和海底介质的分界面。在这两个分界面上，声波将发生反射和折射。另外，由于海水介质的折射率随深度和水平位置不同，声波也会发生折射现象。因此，本小节的知识将是研究海水中声传播过程理论基础的一部分。这部分知识在声学基础中也是重点掌握的知识。因此，部分推导将略去。 垂直入射在两种不同介质的分界面上，由于两介质的特性阻抗不同，声波分界面上会发生反射和折射。在介质 1 中：xktirxktiePep1图 2.1 平面波垂直入射到两介质分界面时参数示意图5xktirxktiecPecu111在介质 2 中： xktiep2xktitcPu22界面上
11、声压连续： 0201,xxtptp即。triP界面上法向振速连续： 0201,xxtuu即 211cPctri由此可以推得声压反射系数：， (2-32)1212ZcPRir 声压透射系数：。 (2-33)1212cDit其中， 为介质 1 的特性阻抗， 为介质 2 的特性阻抗。1ZcZ由(2-32)式和(2-33)式可知，声波在分界面上反射和透射的大小决定于媒质的特性阻抗。下面分别讨论几种极端情况，以对阻抗变化和反射、透射的关系有更深刻的认识。i 21Z有 ， ，表明声波没有反射，即全部透射。也就是说，即使存在两0R1D种不同介质分界面，但只要两种介质的特性阻抗相等，那么对声传播来讲分界面就好
12、像不存在一样。ii 21Z有 ， ，因为介质比介质在声学上更“硬” ，这种边界称为硬0R6边界，在硬边界上，反射波声压和入射波声压同相。iii 21Z有 ， ，这种边界称为软边界，在软边界上，反射波声压和入射0RD波声压相位相反，产生半波损失现象。而当 时， ， 。12Z?1R0Div 21有 ， ，介质对介质来说“绝对硬” ，反射波声压和入射波声压大小相等，相位相同，所以在分界面上合成声压为入射声压的两倍，实际上发生的是全反射。虽然声压透射系数为 2，但可以计算得出介质 2 中的质点振速为 0。因此，在介质 2 中没有透射波。下面讨论能量的透射情况。为此先定义透射损失 TL：(2-34)DZ
13、DZITLti lg20l1lg10l2在边界是绝对硬的条件下， ， ，TL 值很大，表明透射能量比21例很小，如声波由空气入射到水中， 透射损失 TL=29.5dB。在边界3570是绝对软的条件下， ， ，TL 值也很大，表明透射能量比例很小，12Z?0D如声波从海水中入射到海面，声波能量几乎全部反射回海水中。 斜入射入射波声压： iiii zkxtPtzxp cossnep, 11反射波声压： rrrr ztitz ssi, 11折射波声压： tttt zkxtiPzxp cossinep, 22上述声波的法向振速：iizcu1osrrzpcu1sttzpcu2s边界上声压连续：图 2.2
14、 平面波斜入射到两介质分界面时参数示意图700ztzripp边界上法向振速连续： 00ztzrizuu由此推得，反射定律：(2-35)ri折射定律（Snell）：(2-36)nckti21sn声压反射系数：(2-37)ntiir ZccPR1212oss声压透射系数：(2-38)ntiiit ccD1212oss其中， 和 分别为介质 1 和 2 的法向声阻抗率， incZos1tnZo2为折射率。取 、 ，则由折射定律得 ，分别代入21cn12mitn2scos到(2-37) 和(2-38)两式中得， (2-39)iinR2scos。 (2-40)iiimD2从(2-39)和(2-40)两式
15、可知：1）当 时，折射角 ，在介质 2 中有折射波存在。12cnit2）当 时，折射角 ，当入射角 时发生全内反射现象。iic为全内反射临界角。由折射定律可知ic。 (2-40)12arcsinri8当全反射现象发生时， 不再是实数，在第二种介质中没有正常意义下的t折射波。我们通过反射系数和透射系数进一步讨论反射波和折射波的特性。i入射角大于全反射角时的反射波当 ， ，根据熄灭原理，ici 22sinsinosjniit ，折射波 ，因此， ，则反射系数为：z2c0jkze 2cot ijn， (2-41)2sicniiimjRRe。 (2-iartgos2242)(2-41)和(2-42)两
16、式表明，发生全内反射现象时，反射系数的大小为 1；反射波的相位较入射波发生跃变，大小由(2-42) 式给出。当入射波入射角时，相位跳跃最大 ，R 趋于1，界面总声压为零。90i80若第二介质存在声吸收（例如海底） ，就不会发生全反射现象（反射系数模小于 1） 。数学上经常用复数声速或波数来描述介质对声波的吸收现象，同学们自行推导用复数波数或声速表示介质吸收的情况。下面给出复数声速表述介质 2 声吸收的推导。设介质 2 声速为 ， 代表真实声速，则20(1)cj0c， (2-43)120()nj其中 为正的小量。对(2-43)式作近似可得，0(1)nj其中 。可以求得0120nc2222001s
17、isi() =A+jBi i jnMj其中， ，22200in(1),iAn。21 2, MAB把它们代入到反射系数表达式(2-41)式中得到 21cosjimMjRRe， (2-43)9其中， (2-44)21(cos)imMR。 (2-45)122s()ciiartg由(2-44) 式可以看出，在介质2 中有声吸收时， ，且 越大，1R越小。R图 2. 7 为 m=2.7，n=0.83 情况下，反射系数的模和相位跳跃随入射角的变化， 。56icii入射角大于全反射角时的透射波由反射系数和折射系数的定义可知，在分界面上， (2-46)RD1当入射角大于全内反射临界角时， ，把(2-43) 式代入到(2-46)式中得。 (2-21cosjjee47)则折射声压为：。 (2-48)222cosexpsincos0jt i ttpPjtkxzz根据折射定律， ，考虑到熄灭条件，112 ii njnkiit 则折射波为：。 (2-21sin2 2cosexpsi0tjkzt i tpePjtkxz 49)折射波是沿 x 轴正向传播的平面波，但幅值随z 作指数衰减，见图 2.4。我们称波阵面（等相位面）上振幅随离分界面的距离增大作指数衰减的平面波为非均匀平面波。非均匀平面波沿 x 轴正向的传播速度可用图 2.3 m=2.7, n=0.83, 取不同值时的|R|和图 2.4 非均匀平面波
