1、请作者严格按照该模板进行排版（请用 word 排版，MathType 公式编辑器编辑数学公式）（页面设置页边距：上 2.5 厘米，下 2.5 厘米，左 2.5 厘米，右 2.5 厘米）中文文题（二号宋体，单倍行距，居中。禁止使用非通用缩略词；尽量不出现“一种” 、 “研究”等词。 ）（中文标题与作者之间空一行）李 勇 1，2 ， 李顺文 1， 李 伟 2（小四号仿宋，单倍行距，居中。两个字作者名中间空一汉字格(即敲两下空格键） ，三个字的不空；姓名之间空一汉字格）（1.西华大学 应用数学研究所， 成都 610039；2.宜宾学院 数学研究所，四川 宜宾 644007）（小五号宋体，单倍行距，居
2、中。省会城市只写城市名而非省会城市需写省名与城市名）摘 要 （ 里的词是小五号黑体(不是加粗) ；中括号 是宋体; 前空两汉字格）摘要字数为 100-180 字。 （写明研究的目的、方法、结果和结论；不以“本文” 、 “作者” 、 “我们”等作为摘要陈述的主语；不使用图、表或数学公式；不使用一次文献中列出的章节号、图号、公式号以及参考文献号等。 ）(摘要内容小五号宋体，单倍行距）关键词 关键词 1；关键词 2；关键词 3；关键词 4（ 里的词是小五号黑体(不是加粗 )；中括号 是宋体 ; 前空两汉字格；内容是 35 个小五号宋体，单倍行距，词之间用分号） 中图分类号 O177.5 文献标识码
3、A（B、C） 文章编号 1672-1454(2018)01- （ 里的词是小五号黑体(不是加粗 )；中括号 是宋体 ; 前空两汉字格；“中图分类号”按照中图分类法中专业划分填写。文献标识码理论写 A，应用写 B，教学写 C）正文排版五号宋体，特殊标注除外1 引 言（一级标题，顶格，小四号黑体（不是加粗） ；一级标题上下各空一行;“1”与“引”之间空一汉字格， “引”与“言”之间空两汉字格）参考文献必须在正文引用处标出，且按照引用顺序排序号。文中出现的公式、图、表、定理、推理、定义、命题等，均要按其在正文中被引用的顺序，分别采用阿拉伯数字排序，不以章节编号。收稿日期 2015-10-25；修改日
4、期 2016-01-18基金项目 国家自然科学基金（00000000） ；四川省教育厅自然科学重点项目（123A164）作者简介 李勇（19*-）,男，博（硕、学）士，教授（副教授、讲师、助教） ，从事*研究.Email:* * * （19*-）,男，本科在读，*专业.Email:* * * （19*-）,男，硕士在读，*专业.Email:* * * （19*-）,男，博士在读，*专业.Email:*收稿日期就是您的投稿日期，修改日期就是稿件修改后发到编辑部的日期。作者简介仅需第一作者，若有通讯作者按作者简介格式写全信息（此块放在首页正文下方，正文排版不是页脚，按要求写全信息； 里的词是小五号
5、黑体(不是加粗) 中括号 是宋体; 内容排小五号宋体2 一级标题（一级标题顶格，小四号黑体（不是加粗） ；一级标题上下各空一行）2.1 数学量与符号使用规范（二级标题，五号黑体（不是加粗） ）量的单位采用英文表示，量的数值与量的单位之间留一空格，如“10 毫米”应为“10 mm”。 2.1.1 使用黑斜体的情况（i）矩阵，如 A= ；1234（矩阵字母用黑体）（ii）矢量（向量） ，如 r=（ x, y, r） ，=（ 1, 2, 3） 。（向量字母用黑体，不用箭头）2.1.2 使用空心正体的情况复数集 、实数集 、有理数集 、整数集 、自然数集 ，及其扩展情况，如正整数集，n 维实坐标向量空
6、间 等。+n（若空心字母敲不出请用彩色标出以便识别）2.2.3 文中内容（如定理、引理、命题、结论）若按序号列出用罗马数（i）；（ii）.（请注意各级标题序号和文中序号的排版格式,请参考您正在看的此模板）2.2.4 文中公式若按序号列出用阿拉伯数（重要的和下文需用的写序号，其他的不用写）12()()()yPxyQx， 2.2.5 使用白斜体的情况(i) 变量的符号；(ii) 一般函数符号。2.2.6 使用正体的情况(i) 常量，如 ，e ；(ii) 单位，如 m，km；(iii) 表示数学运算的符号或常用函数，如矩阵转置符 T、矩阵求秩函数 rank(A)、正弦函数sin、微分符号 d、复数虚
7、部 i、有限增量符号 等。2.2 图文图要求线条清晰。正文中图随文后，且图必须放在本节内，不得跨节出现。一般图放右侧左边串文。图字为小五号黑体。多幅可并排。示例若要实解存在，由判别式大于等于零得 2()sin1.ifaqj+根据假设条件，若上式取大于号，得到f ()0，则f ()存在范围宽图 1 范围示意图o /2-a-asinf ()f图 2 图 3 障碍物包络图2.3 表文中所建表格必须有表头并放在第一行。正文中表随文后，且不能跨节。（表头用小五号黑体）表身内的数据一般不带单位。若全表数据单位一致，将单位置于表格右上角，右端空一格；若每行或每列数据单位一致，则将单位归并于量的名称式符号后，
8、即量/单位。（表身用小五号宋体）表 1 算法运行时间比较 msV/(m/s)算法10 100 1 000AA/() 1) BB/Hz 本文/(%) 注（说明，分析） （“注” 、 “说明” 、 “分析”等用五号华文楷体；内容用宋体）2.4 公式公式、正文中的变量均需采用公式编辑器录入，居中排，全文顺序排号。公式太长需要换行的，后一行以运算符开始，如 3223()DIxyxdy（ 为 中 的部分） （1）132)1D0（重要的与下文需用的写序号，其他的不用写）2.5 其他定理 1 定理名称。定理描述。证（不写证明）（“定义” 、 “定理” 、 “引理” 、 “例” 、 “证” 、 “解”等用五号
9、黑体（不是加粗） ；内容排宋体）3 结 论（一级标题，顶格，小四号黑体， “结”与“论”之间空两个汉字格；一级标题上下各空一行）总结本文方法及取得的成绩，切勿简单重复摘要内容。参 考 文 献（五号黑体，居中；字之间空一汉字格）1 作者姓名.文章题目J.期刊名称，年份，卷（期）：起止页码.2 作者姓名.书名M.版次.出版地：出版社名，年份：页码.（首次出版的版次不用写，页码可以不写）3 析出文献主要责任者.析出文献题名M/专著主要责任者.专著题名.出版地：出版者，出版年：析出文献的页码.4 析出文献主要责任者.析出文献题名C/专著主要责任者.会议论文集名.出版地：出版者，出版年：析出文献的页码.
10、示例：1 张量，宋卫东.正螺面的两个特征J.大学数学，2009,25（5）：145-147.2 Foster D P, George E I. The risk inflation criterion for multiple regressionJ. The Annals of Statistics, 1994, 22(4): 1947-1975.3 余敏.出版集团研究M.3 版.北京：中国世纪出版社，2001:179-193.4 Baker S K，Jackson M E.The future of resource sharingM.New York:The Haworth Press,
11、1995.5 程根伟.1998 年长江洪水的成因与减灾对策M/许厚泽，赵其国.长江流域洪涝灾害与科技对策.北京：科学出版社，1999:32-36.6 钟文发.非线性规划在可燃毒物配置中的应用C/赵玮.运筹学的理论与应用：中国运筹学会第五届大会论文集.西安：西安电子科技大学出版社，1996:468-471.（顶格排版。小五号，宋体。序号与内容之间空一汉字格）Solution to Base on the Similar Structure of the Double Porosity-Multilayer Reservoir（除虚词外，每个单词的首写字母均大写。 （三号新罗马(Times New
12、 Roman)，加粗，居中；标题上下各空一行）LI Yong 1， 2， LI Shun-wen 1， LI Wei 2（作者姓全大写，名首字母大写；名之间空一汉字格）(1. Institute of Applied Mathematics,Xihua University，Chengdu 610039, China; 2. Institution of Mathematical Science,Yibin University,Yibin Sicuan 644007,China)（小五号新罗马，正体，单倍行距，居中须提供单位正式英文名称，不能使用简写或缩写。 ）（地址与摘要之间空一行）Abs
13、tract:（英文摘要应是中文摘要的直译，所以只要简洁、准确地逐段将文章译出即可，时态常用一般现在时间、一般过去时，少用或不用现在完成时、过去完成时、进行时态和其他复合时态。尽量使用短句，但也要避免单调和重复。第一次出现缩略语需要提供英文全称，格式为“multiple input multiple output (MIMO)”）（“Abstract:”排小五号新罗马，加粗；内容小五号新罗马不加粗）Key words: word1; word2; word3; word4（“Key words:” 排小五号新罗马，加粗；内容小五号新罗马不加粗；词之间用分号关于凸性的一些探讨廖俊俊， 吴 洁（华中
14、科技大学 数学与统计学院,武汉 430074）摘 要 现行的不少教材在叙述凸函数定义时，通常都假设函数是连续的。本文以没有连续为前提的一元凸函数的定义为基础，探讨了函数的连续性，左右导数的存在性，凸函数在区间端点的形态，最后利用左右导数，给出了判定函数为凸的一个充要条件。关键词 连续性；凸函数；左导数；右导数中图分类号 O172.1 文献标识码 C 文章编号 1672-1454(2017)05-1 引 言在第二届全国大学生数学竞赛（数学类，预赛）中有如下试题：设 2RD是凸区域，函数 ),(yxf是凸函数，证明或否定： ),(yxf在 D上连续。注 函数 ),(yxf是凸函数的定义是 )1,0
15、(以及 ,(21，成立 ),(),1 2212 yxfyxfy.答案是肯定的。需要说明的是，这里所说的凸函数（convex function） ，在现行的有些教材中称为下凸函数。上述试题引起了我们的思考，原因是现行的不少教材在叙述凸函数的定义时，通常都假设函数是连续的 1-4，即便有的教材叙述凸函数的定义时没有连续这一条件 5-7，也并没有以此为基础讨论函数的分析性质。最近的文8，也仅讨论了凸函数单侧导数的连续性。本文以没有连续为前提的一元凸函数义为基础，探讨了函数的连续性，左右导数的存在性，凸函数在区间端点的形态，最后利用左右导数，给出判别凸函数的一个充要条件。2 凸函数的定义及连续性定义
16、17 设函数 f在闭区间 ,ba上有定义，若 )1,0(以及 ,21bax，成立收稿日期 2016-05-13； 修改日期 2016-06-20基金项目 华中科技大学 2015 年教学研究项目（2015068） 作者简介 廖俊俊（1973-）,男，博士，讲师，从事随机分析、泛函分析研究.Email:通讯作者 吴洁（1962-）,女，硕士，教授，主要从事微积分教学与研究.Email:6)(1)()1( 22 xfxfxf , （1）则称函数 f在 ,ba上是凸函数。式（1）等价于对任意的 bx21以及 ),(21x内任意一点 x， 成立 1)(fff2, （2）也等价于 )()() 1112xf
17、xffxf . （3）在几何上等价于任意两点 )(,1f（ 和 )(,2f（ 之间的弧位于这两点连线的下方。如果将 ,ba换成 (，则得到相应的开区间内的凸函数定义。下述定理 1 将告诉我们，凸函数在开区间内每一点都存在左导数与右导数。定理 1 设函数 f是闭区间 ,ba上的凸函数，则对任意 ),(bax， (xf的右导数)(xf、左导数 )(x均存在；且 )(xff.证 对任意 ,ba，令 hxffF)()，任取充分小的 0,21h，使得 bx21，利用式（2） ，有1 12()()()fxfffxh+-+-，于是 )()()() 2211 hFhxfxfhfxfF， 可见当 0h且 b时，
18、函数 )(F是单调增的。由于 ba，根据式(2)有 )()(axf，由此知当 单调递减趋于 0时， )(单调递减且有下界，故极7限存在，即有 hxffhFxf )(lim)(li)(00，这就证明了 的右导数 f存在，类似可证明 f的左导数 )(xf存在。注意到 ),(bax以及足够小的 ,21，若 bhxa21，由式（2） ，有 12()()(.fxhfxfhf-+-分别令 0,21h，即得 )(ff。由定理 1 即可得到下面关于连续性的结论。定理 2 设函数 f是闭区间 ,ba上的凸函数，则函数 f在开区间 ),(ba内连续。证 对任意 ),(x，因 )()()( xfhfxfhf ，由定
19、理 1 知 fh)(lim0存在，所以 )()(li0 xffhxffxfh ，故 f在 ),(ba内左连续。类似可得 f在 ,ba内右连续，从而 在 ,ba内连续。注 尽管当函数 f是闭区间 上的凸函数时，能得到 f在开区间 ),(内连续，但f在端点 及 上并不一定是单侧连续。例 1 考查 ,上函数 1,2,)(xxf的凸性与连续性。 )(xf图像如图 1 所示。由图像可知， f是 ,上的凸函数，且在 ),(内连续，但 在 1x以及 图 1点均不单侧连续。 83 区间端点附近的性态探讨例 1 表明，闭区间 ,ba上的凸函数 f可能在端点 a或 b处不连续。我们自然会问：对于一个闭区间上的凸函
20、数，当它在端点不连续时，其在端点附近的形态如何？下面的定理回答了这个问题。定理 3 设函数 f是闭区间 ,ba上的凸函数，则函数 f在端点 a和 b单侧极限都存在，并且 )(af， )(f.证 仅证 ff( f可类似证明).对任意 ),(x， f是闭区间,ba上的凸函数，由凸函数定义得)()()(bfaxfbxf, （4）所以 |)(|afxf，即函数 在 ,上有界。任意 bcyx1，由（2）知1)()(cfxyf，即有)()()1xfycfyf .固定 c,1，上式两边令 ax并取下极限，得 )(lim)()(1xfycfyf ax，上式两边令 ay并取上极限，得 liliffxay，注意到
21、 f在 ,ba上有界，由此知 )(limxfax存在。进一步，由式(4)，令 即得 )(.上述结论告诉我们，尽管闭区间上的凸函数在端点可能不连续，但形态也相当好具有单侧极限。对于一个开区间内的凸函数，它在区间端点附近又会是什么样的表现呢？请看定理4。定理 4 设函数 f是 ),(ba内的凸函数，则9(i）对于端点 a，要么 )(f存在，要么 )(af；(ii）对于端点 b，要么 存在，要么 b.证 (i）任取 yx，以及任意 cy1，由凸函数定义，有1)()(fxf，令 c1，由定理 1，得 )()(cfyf，于是 )()(xfycf.令 ax，取下极限，即有 lim)( xfayfx ，此时
22、显然有)(li)(1fcfyf ax，再令 ay，并取上极限，得 li(lifyfxa.由此，得到 如果 )(limxfax存在，那么 )(f存在； 如果 ，那么 a.(ii）的证明与(i)类似。4 凸函数的单侧导数判别定理最后，用单侧导数导出一个函数为凸函数的充要条件。为此，先证明 Fermat 定理的一个推广。引理 1 设 ),(ba内的函数 f在点 ),(0bax的左、右导数都存在，且)(00xff.如果 0为 的一个极大值点，那么 f在 0x点可导，且有 0)(xf.证 由条件，当 0时， )(0xf；当 0时， )0f，于是 )(lim)(000xfxfx； 000()()lim.x
23、ffxf+-=10从而 )(0)(0xfxf.而另一方面，根据条件有 00()fxf，因此00().fxf-+=即 f在 0x点可导，且有 )(0f.注 容易知道，对于极小值点也有与引理 1 对偶的结论。定理 5 函数 f是闭区间 ,ba上的凸函数的充要条件是 f在开区间 ),(ba内任一点的左、右导数都存在，以及在端点 处对应的单侧极限存在，且满足(i）对任意 yxa，成立 )()(yffxff ；(ii） )(ff， )(bf.证 必要性。由定理1知 在 ,a内任一点的左右导数都存在，再由定理3可知 f在端点 a和 b处相应的单侧极限都存在，并且 )(aff， )(bff。即得(ii)成立。对任意 yx，任取 yxa2121 ，由式（2） ，得xfff21)()( yfff21)()(，分别令 yyx21 , ，得 )()(ffxff ，即(i)成立。充分性。首先对任意 ),(ba，函数在 x点的左右导数都存在，故函数在 ),(ba内连续；其次，因为在端点的单侧极限存在以及条件(ii） ，所以不妨假设 )(ff，)(bff. 对任意 x21，记 )()()( 1112xfxfffg，显然 g是连续函数，且对 1yx，有 )()(ygg. （5）
