1、高观点下的几何学一一、填空题。1公理法的三个基本问题是（相容性问题 ） 、 （ 独立性问题 ）和（完备性问题） 。 2公理法的结构是（ 原始概念的列举 ） 、 （ 定义的叙述 ） 、 （ 公理的列举 ）和（ 定理的叙述和证明 ） 。3仿射变换把矩形变成 平行四边形 4仿射变换把平行线变成 平行线 5仿射变换把正三角形变成 三角形 二、简答题。1试给一个罗氏几何的数学模型。答：卡莱克莱因模型2试给一个黎曼几何的数学模型答：球面模型3简述公理法的基本思想。答：公理法的基本思想是若干个原始概念（包括元素和关系） 、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。全部元素的集合构成了这种几何的空
2、间。在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统逻辑结构，这就是公理法思想。4简述公理系统的独立性答：公理系统的独立性：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这条公理在公理系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。5试着陈述非欧几何是怎样产生的？答：在试证第五公设的过程中，著名的欧几里得几何评论家萨开里、伦伯特、勒让得等人都试图用反证法证明第五公设、试图从中找出与绝对几何命题相矛盾的结果，然而他们并没有得出什么矛盾结果，实际上
3、这一系列的命题就是非欧几何的内容。6简述公理系统的完备性。答：公理系统的完备性: 如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。7简述公理系统的相容性。答：公理系统的相容性: 一个公理系统及其一切推论不含有矛盾命题时，称这个公理系统是相容的或无矛盾的。三、选择题。1三角形内角和等于 180 度与（ A ）欧氏平行公理等价 罗氏平行公理等价 AB椭圆几何平行公设等价 不可判定CD2欧氏几何与非欧几何的本质区别为（ A ）平行公设不同 结合公理相同 绝对公设不同 结合公理不同3设点 共线，且在仿射变换下分别变成 ，则 三点（ A ）,ABC,ABC,A共线 B三角形
4、顶点 C可能不共线 D可能重合4正方形在仿射变换下变成（ B ）A正方形 B平行四边形 C菱形 D矩形5正方形的下列性质中哪些是仿射的( 14 )（1）对边平行； （2）四角相等；（3）四边相等； （4）对角线互相平分；（5）对角线互相垂直； （6）角被对角线平分；（7）对角线相等； （8）面积6在仿射对应下，哪些量不变？（ C ） A长度 B角度 C单比 D交比四、计算与证明题。1求出将点 变成点 的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线(3,1)(,3)上。280yx解：设所求的旋转变换为 cosinixyy则 2于是所求的旋转变换为 即xyxy将此变换用于所给的抛物线得。2810xy
5、2 试确定仿射变换，使 轴、 轴的象分别为直线 和 ，且点 yx10xy10xy(1,)的象为原点。解：所求变换的公式为其中 1122xyy120则 变成直线0x110但由题设 变成 可知， 与 表示同一直线。xy110xy10xy所以 11h因此 hxy同理 1k此处 是参数。,hk又因为点（1，1）的象为原点，于是 ，所以，所求变换的逆式为1,hk1()xy由此得出所求的仿射变换为 21xy3求出将点 变成点 的平移变换，在这个平移变换下，抛物线(2,3)(0,1)变成什么曲线？281yx解：设所求的平移变换为 xayb将已知对应点的坐标代入上式得 0213ab于是 , 4a所以所求的平移
6、变换为即 24xy24xy将此变换用于所给的抛物线上 2()()8()10yxy即 20yx4求仿射变换 的二重直线。7142y解： 设所求的不变直线为（ 不同时为 0）0AxByC,AB即在所给的变换下， 对应xyC0AxByC因为 (71)(42) (4)xyAB所以 4 2) (3C消去 得,ABC74012展开化简得 (1)7(2)4(1)0解得 ,36由于当 时， ，因此不对应不变直线，分别将 代入（1） ， （2） ，10AB 3,6（3）得和 3, 2ABC4, 0C所以不变直线为 和 3xyxy5证明，直线 将两点 与 的连线段分成的比是0ABC1(,)P2(,)y。12xy6
7、求证：相交于影消线的二直线必射影成两平行线。证明： 设二直线 和 交于 点， 点在影消线上， 和 经射影对应，对应直线为1l2P1l2和 ，则 点对应无穷远点。1l2P由于射影对应保持结合性不变，所以 的对应点是 和 的交点，即无穷远点，也1l2就是 。1l2高观点下的几何学二一、填空题。1设共线三点 ，则 2 0,2(,)1,ABC()AB2如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ 共线 ） ，夹角为（ 00或 1800 ） 。3空间中三个向量线性相关当且仅当它们（ 共面 ） ，空间中的四个向量一定（ 线性相关 ）4设 与 是两个非零向量，若 与 线性相关，则 。 abab0ab5已知向量
8、 ，则 与 之间的内积 。123123,xby123xyxy二、选择题。1下列性质或量中哪些是仿射的( （1） （3） （） （8） )（1）线段的中点； （2）角的平分线；（3）交比； （4）点偶的调和共轭性（5）角度 （6）三角形的面积（7）两相交线段的比 （8）两平行线段的比（9）对称轴 （10）对称中心2设 与 是两个非零向量，若 ，则（ B ） 。ab0ab与 平行 与 垂直A与 线性相关 与 的夹角为CabDab3设 与 是两个非零向量，则下列结论正确的是（ A ） 。abBabCD4下列说法错误的是（ B ）A平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；B平面上两个向量线性无关当且
9、仅当它们垂直C平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行D平面上的三个向量一定线性相关5设 与 是两个非零向量，若 ，则（ D ）ab0ab与 平行 与 交角为锐角。AB与 线性相关 与 的夹角为Cabab2三、计算与证明题。1设平面上的点变换 和 分别由 和 表12153:1yx2:2xy示，求 ； ； ； 。12() 1() 21(3) 12(4) 解：（） 即12 3()5()xyx123729xy（）若求 ，只需从 中求出 x,y 即可。所以11 127:51xy（） ，即2)3()52:12yx5243:12yx（）若求 ，只需从 中求出 即可，所以122yx,2:12yx2求线坐标 所
10、表示的直线方程。1,0解：为 3x3求线坐标 所表示的直线方程。1,解 为 032x4求线坐标 所表示的直线方程。,解：为 或者为为123x0321x5求线坐标 所表示的直线方程。0,解：为 23x6试用向量法证明：等腰三角形的中线垂直于底边。 证明：设 为等腰三角形，记 ，则 ，并设中线，见图上式两端同 做内积，得，根据已知条件，即 ，所以，即 。7证明：使向量内积不变的仿射变换是正交变换。证明：设在使二向量内积不变的仿射变换下，点 变成点 ，点 变成点 ，则AB),(),( 222 dBABBAd 所以 （ 表示两点间的距离） 。由于这个变换保持两点间的距离),(,d不变，因此它是正交变换
11、。8试用向量法证明：半圆的圆周角是直角。证明：设 为半圆的圆心， 为直径， 为半圆上任意一点，见图，要证明 ，取 ，则 ，设 ，由于 都是圆的半径，所以 ，由图有所以 ，即 。9若存在，求下列各点的非齐次坐标。(1) 3,5)(2).0,1解：（1）存在，设 ，则这个点的非齐次坐标为13(,5,3)x。1235(,),)(,)3xy不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标。.10若存在，求下列各点的非齐次坐标， 。(1) 0,56)(2) 1,80)解： 存在，设 ，则这个点的非齐次坐标为. )6,50(),(321x。)6,0(),(),321xyx不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标。.211若存在，求下列各点的非齐次坐标， 。(1) 0,(2) 0,86)解：（1）不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标。（2）存在。设 ，则这个点的非齐次坐标为123(,)(,)x。34(,),0,xy12将二次曲线 化简成标准型。220xyxy解： 11, , C1, , , ABDEF1）计算不变量 22, 0ABII311240ABDICEF2）判别类型， ，说明曲线为抛物线0I3I3）化方程为标准方程：因为 ，方程可化简成 B2311IIxy即 218xy化简得 2
