1解线性方程组的迭代法3.5 迭代法的收敛条件3.5.1 矩阵的谱半径迭代法的收敛性与迭代矩阵的特征值有关。定义3.3 设A为n阶方阵， 为A的特征值，称特征值模的最大值为矩阵A的谱半径，记为称为矩阵 A 的谱.2解线性方程组的迭代法由特征值的定义容易得出，矩阵矩阵的谱半径与范数有以下关系。的谱是 因而3解线性方程组的迭代法定理3.3 设A为任意n阶方阵，为任意由向量范数诱导出的矩阵范数，则证明 对的任一特征值 及相应的特征向量都有因为 为非零向量，于是有由 的任意性即得4解线性方程组的迭代法定理3.4设A为n阶方阵，则对任意正数存在一种矩阵范数 使得证明参看 .对任意n 阶方阵 A,一般不存在矩阵范数使得 但若A为对称矩阵，则下面的结论对建立迭代法的收敛性条件非常重要。5解线性方程组的迭代法定理3.5 设 A 为n阶方阵，则证明必要性.若而于是由极限存在准则，有由定义3.2得的充要条件为所以6解线性方程组的迭代法充分性.若 取由定理3.4存在一种存在一种 使得所以而于是7解线性方程组的迭代法3.5.2迭代法的收敛条件定理. 对任意初始向量 和右端项由迭代格式产生的向量序列 收敛的充要
