1、【名师综述】基本不等式是 C 级要求，是高中数学的重要知识，高考对基本不等式的考查，主要以多元最值为背景的题型进行考查等价代换或转换是解题方法,也是解题难点类型一 代入转换已知 ，且 ，则 的最小值为 .0,2abc2ab52acbc【答案】 51【解析】考虑所求的结构特征，变性为 ，先求 的最小值.15()2acb12ab,当且仅当 时取等号 来源:Zxxk.Com222 2)11 54ababaa5ba故 .5511()()2cccc10【名师点睛】 1 代换成 ,构造出应用基本不等式的条件2()【举一反三】已知 xy1，y0，x0，则 的最小值为_12x xy 1【答案】 54类型二 放
2、缩转换若 x，y，z 均为正实数，且 x2+y2+z2=1，则2()zxy的最小值为 . 【答案】 32【解析】2222(1)()111 322()()3zzztxyzxy tt当且仅当 时取等号,tz【名师点睛】利用基本不等式消元是解题关键【举一反三】已知 A，B，C 是平面上任意三点，BC a，CA b，ABc，则 y 的最小值是ca b bc_【答案】 212类型三 分离转换已知正数 x，y 满足 ，那么 y的最大值为 .23x【答案】 13【解析】 学科网2116403xyxy【名师点睛】运用分离变量法，将目标 转化为求函数值域及解对应不等式【举一反三】已知正实数a，b，c满足 a+
3、b=1， + bc+ a=1，则实数c 的取值范围是 . 【答案】 4(1,3【解析】 ，因为 11abcabcab111204abab，所以 14,.43类型四 设参转换若实数x，y满足2x 2xyy 21，则 的最大值为_x 2y5x2 2xy 2y2【答案】 24【解析】把 2x2xyy 21 变为(xy)(2x y)1，令 2xyt，xy ，由此解得 x ，y1t 13(t 1t) 13，把 x， y 代入得：原式 ， 2 或 2(2t t)t 1tt2 1t2t 1t(t 1t)2 21(t 1t) 2t 1t (t 1t)2t 1t 2 (t 1t)2t 1t，所以原式的最大值为
4、.224【名师点睛】引进参数不是增加元，而是巧妙消元【举一反三】设实数 x，y 满足 y 21，则 3x22xy 的 最小值是_x24【答案】 4 6来源:Z.xx.k.Com2【解析】由 y 21，得 1，假设 ym， yn，即 mn1，则 xm n，y .x24 (x2 y)(x2 y) x2 x2 n m2所以 3x22xy4m 22n 26mn2 6mn 4 6(当且仅当 4m22n 2 时取等号)8m2n2 2类型五 构造函数转换若实数 x，y 满足 x24xy4y 24x 2y24，则当 x2y 取得最大值时， 的值为_xy【答案】 2【名师点睛 】从式子结构出发寻找函数关系，关键
5、熟练掌握代数关系. 【举一反三】已知 ab ，a ，b(0，1)，则 的最小值为_14 11 a 21 b【答案】4 423【解析】将 b 代入 y ，其中 0， t0，经检验得 x 的最大值为 1. 学科网322 322 12y 322【名师点睛】 本题是函数与方程思想的典型运用【举一反三】在平面 直角坐标系 xOy 中，设点 A(1，0)， B(0，1) ，C(a，b)，D(c，d)，若不等式 CD 2(m2) m( )( )对任意实数 a，b，c，d 都成立，则实数 m 的最大值是OC OD OC OB OD OA _【答案】 15类型七 利用线性规划转换已知 x、yR，满足 2y 4x
6、，x1，则 的最大值为_x2 y2 2x 2y 2xy x y 1【答案】103【解析】由题易知 ，令 t ，则由线性规划知x2 y2 2x 2y 2xy x y 1 （x 1）2 （y 1）2（x 1）（y 1） x 1y 1 y 1x 1 y 1x 1t ，1 ，从而 t 2 ， 13 1t 103【名师点睛】线性规划是解决有关最值问题的一个有效 的方法【举一反三】已知正数 a，b，c 满足：5c3ab4c a ，cln bacln c，则 ba的取值范围是_【答案】e,7【解析】由 5c3ab4ca 及 c0，得534abc，由 clnbaclnc 得： clnblnclnbceacb记
7、x，y，则bax.则为：53xy4x来源:学_科_网为：ye x如图画出两个不等式所表示的平面区域而0byax表示可行域内的点 P(x，y)与原点连线 l 的斜率由534yx得127y，故(,)A由图知当直线 l 过点 A 时取得最大值，最大值为721.设过原点与 ye x 相切的直线为 ykx，切点为(x0，y0)由 ye x 知 kex00ex，x01切点坐标为(1，e)，切线方程为 yex.显然此时 取得最小值，所以 x的取值范围为e,7学科网【精选名校模拟】1. 已知 a，b 为正实数，且 ab1，则 的最小值为 _a2 2a b2b 1【答案】3 2222. 若实数x，y满足xy0，
8、且log 2xlog 2y1，则 的最小值为_x2 y2x y【答案】4 【解析】由 log2xlog 2y1，得 xy2， xy 4，则x2 y2x y x2 2xy y2 2xyx y （x y）2 4x y 4x y的最小值为 4.x2 y2x y3. 已知正实数 a，b 满足 9a2b 21，则 的最大值为 _ab3a b【答案】212【解析】设 3acos ，bsin，其中 为锐角， ，设 tsincos， 为锐ab3a b sin cos3（sin cos ）角，则 1 y0，且 xy2，则 的最小值为_2x 3y 1x y【答案】 3 224【 解析】因为 xy0，且 xy2，则
9、 2x2y4， 0，所以 4 2x 3y 1x y ( 2x 3y 1x y)(2x2y) (x3y) (xy)2 132 .(2x 3y 1x y) ( 2x 3y 1x y) 2（x y）x 3y x 3yx y 28. 已知 x，y 为正实数，则 的最大值为_4x4x y yx y【答案】 43【解析】设 m4xy0 ，n xy0，则 x ，y ， .m n3 4n m3 4x4x y yx y 83 13(4nm mn) 83 43 439. 已知正实数 x，y 满足 x 3y 10，则 xy 的取值范围为_2x 4y【答案】 1， 8310. 已知函数 f(x)3xa 与函数 g(x
10、)3x2a 在区间 (b，c)上都有零点，则 的最小值a2 2ab 2ac 4bcb2 2bc c2为_【答案】1 【解析】由题知 f（ b） 3b a0，g（ c） 3c 2a0.)又 a2 2ab 2ac 4bc（b c）2 （a 2b）（a 2c）（b c）2 ，4(b a2)(c a2)(b a2) (c a2)2当 a0 时，b ，c ，2a3 a3 b 0，c 0；来源:学*科*网 Z*X*X*Ka2 a2 a2 a6当 a0 时，b ，c ，a3 2a3 b 0，c 0；a2 a6 a2 a6当 a0 时，b 0，c 0.a2 a2综上知，b 0，c 0.a2 a2设 b x0，
11、c y0，原式 ，a2 a2 4xy（x y）2 (xy) 2(|x|y|) 2x 2y 22|xy| 4|xy|， 1 0，即原式最小值为1.4xy（x y）211. 设实数 a、b、c 满足 a2 b2c1，则 abc 的最小值为 _ 来源:学科网【答案】12【解析】由题知 abcaba 2b 2， ，a2 b22 (a b2 )2 a 2b 2 ，（a b）22从而 abc (ab) (ab1) 2 ， “”当且仅当 ca 2b 2，ab，ab1 即（a b）22 12 12 12ab ，c 时成立12 1212. 设二次函数 f(x)ax 2bxc(a、b、c 为常数)的导函数为 f(x)对任意 xR，不等式 f(x)f(x)恒成立，则 的最大值为_b2a2 c2【答案】2 22
