1、1第 10 章 曲线积分和曲面积分参考解答1、计算下列对弧长的曲线积分： （1） ，其中 L 为由 Oxy 平面上的直线 及抛物线 所围成区域的边界。LxdsAyx2yx 21.510.5-0.5-1 1 2 3l2l1AO第 1（1）题解： ，1102lxdsxA2 131220 0144518l dx125Lllxdsxs（2） ，L 为椭圆 ，其周长为 a。34LydA2143xy解： 2 221LLLxssdsAA注意第一类曲线积分的对称性：若曲线关于 x（y ）轴对称，而被积函数关于 y（x）为奇函数，则曲线积分为零！（3） ，L 为圆周 （ ） 。2LxydsA2xa0解：圆周之参
2、数方程为 （ ） ，故cosin2tay2t22220 01coscosLaatxydstdd A22 2002uuua （4） ，L 为zdsA0cosinxtytzt解： 032201tLzsdtt（5） ，L 圆周为2xdA22xyza解：因 ，故22LLLsdsA222231133LLLxdyzads2、计算下列对坐标的曲线积分：（1） ，其中 L 为折线 上从点 到点22Lxyxyd 1yx0,再到点 的二线段。,0 L2L11,1 21yxO解： ，1:0Lyx2:Lyx2Idxd1 2222L Lxyyxydxyd201dx 312201xdxd（作代换 ，知第二个定积分与第一个
3、相等）43t（2） ，L 是圆周 ，从 z 轴正向看去，该圆周取逆2LydxzydA2xyz时针方向。LyxzO解：L 的参数方程为 ，故得2cosin 02yz22201si8cosI d3、利用 Green 公式计算下列曲线积分：（1） ， L 由 ， 与 x 轴围成，cossinxxLeydeyAsinyx0沿逆时针方向。OxyL第 3（1）题解：L 为封闭曲线，如图所示，直接运用 Green 公式。41cossinxxLIeydeydA（ ）in D,|0sin,Dxyx xeysin0xd21ie0cos4xdx012ee但 0cos2xd0cossinxxed0122cosxe，0
4、4csx故得 。从而得0cos25xede 11405I e（2） ， L 由 的正向。2LxyAxy lLO xy第 3（2）题5解： ， ， 。但 和 在 L 所围2yPx2xQy2yxPyQxy正方形区域内并不连续（在点 处两者根本不存在） ，故不满足 Green 公式之条件。为0,此，采用“挖地雷”方法：取以原点为心、 （或小于 的任意正数）为半径的圆 l，并12取逆时针方向，如图所示。其参数方程为： 1cos2 02inxy于是，l 和 L 所围区域 D 成为 “安全地带” ，在 D 上，P 和 Q 均具有一阶连续偏导数，Green 公式成立。于是222Ll LlxdyxdyxdyA
5、A0Ddxy因此，2222201sinco4Llxdyxdyd4、计算积分 ， 其中 L 是由点 沿曲线33LxdyI , 02A到点 的弧段。cos2yx0, 2B LBAyxO第 4 题6解：这里 ， 。因此，在曲线 L 和线33, yxyxPQ46xyPQ段 AB 所围闭区域上，曲线积分与路径无关。这里，线段 AB 的方程为 ，2yx，方向为从点 A 指向点 B。02x因此， 33LyxdxyI33ABxdyx。032442dx5、验证 是某函数 的全微分，并求1xy xyeyedy,uxy出这样的一个 。,u解：这里 ，故2, xy xyPeyQe1, 1xy xy因而 ，故知 为某函
6、数 的Qyx2xy xyededy,uxy全微分。以下我们用两种方法来求 。,uxy方法 1（利用曲线积分）：,0, 21xy xyuededy0yxxde11xy方法 2（利用待定函数法）：因 ，故得2xyuey（将 y 看作常数）, dx7（其中 为待定函数，与 x 无关）1xyxepyy于是， xyuey但另一方面， ，故1xy1xyxyepe于是得 ， 。因此所求函数为0pC，,1xyxuxye其中 C 可取任意常数。6、计算下列对面积的曲面积分：（1） ，其中 是锥面 在柱体 内的部分。zdS2zxy2xyDyxzOr = 0r = 2 cosO xy第 6（1）题解：222Dxyz
7、dSxydxy2d2Drd2cos0r32016cos9820132cos nn nIdwhenisod （2） ，其中 为球面 。axbyzS22xyzR解： 2Icd 22 222xyzabxyczaxdbycdzS 因 关于三个坐标面都是对称的，故，0abdSczdSzS，222xbyc于是 222IaczdS利用轮换对称性， 222IybzxacydS因此， 222233Ibxzd acRdS2223（注意球的表面积为 ）4abcd 24R于是得 222433IR（3） ，其中 为平面 被柱面 所截下的部分。xyzdS5yz25xy解： 251DIxd2xy952Ddxy1 OzxyDyxO第 6（3）题7、计算下列对坐标的曲面积分：（1） ，其中 是圆柱面 被平面 和 所截下的部分，取外xdyz21xy0z2x侧。21y xzO10D1yz-1 112OD2zy211-1 O第 7（1）题解： 被 yoz 平面分成 和 两片，对于 x 轴正向而言， 取上侧，而 取下侧， 它们在 yoz 平面上的投影区域 和 如上图所示。于是D12IxdyzzxdyI 2121 101yD dz 221yyd0143211222 01yDIxdyzydzdz 12201ydy43因此 。12I（2） ，其中 是球面 ， 的外侧。yzdxy221xyz0解：利用公式 得yzd
