1、智浪教育普惠英才文库第十四章 极限与导数一、基础知识1极限定义：（1）若数列u n满足，对任意给定的正数 ，总存在正数 m，当 nm 且nN 时，恒有|u n-A|f(a)且 f(c)=m，则 c(a,b)，且 f(c)为最大值，故，综上得证。0)(cf14Lagrange 中值定理：若 f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则存在 (a,b)，使.)()(abff证明 令 F(x)=f(x)- ,则 F(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且)(axbfF(a)=F(b)，所以由 13 知存在 (a,b)使 =0，即F.)()(abff15曲线凸性的充分条件：设函数 f(x)在开区
2、间 I 内具有二阶导数， （1）如果对任意xI, ,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的；（2）如果对任意 xI, ,则0)(xf 0)(xf智浪教育普惠英才文库y=f(x)在 I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴生不等式：设 1, 2, nR +， 1+ 2+ n=1。 （1）若 f(x)是a,b上的凸函数，则 x1,x2,xna,b有 f(a1x1+a2x2+anxn)a 1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn).二、方法与例题1极限的求法。例 1 求下列极限：（1） ；（2） ；（3）2limnn )0(1limann；（4）nn 222 1lim ).
3、(lin解（1） = ；221linn 2)(li 21lin（2）当 a1 时， .1lim1lili nnnn aa当 00 且 )。)ln(2xy 1解 （1） 3cos(3x+1).13cos(2) 22 )(5()35( xxxy 2310x.253（3） .2sin)2(sin(2co)(s cocos xexxeey xx （4） 11)11 222.2x（5） )21ln()1( )21ln()21ln( xeyxx.)l(2x5用导数讨论函数的单调性。例 6 设 a0，求函数 f(x)= -ln(x+a)(x(0,+)的单调区间。x解 ，因为 x0,a0，所以 x2+(2a-
4、4)0(12)( af 0)(fx+a20； x2+(2a-4)x+a+1 时，对所有 x0，有 x2+(2a-4)x+a20，即 (x)0,f(x)在(0,+)上单调递增；f（2）当 a=1 时，对 x1,有 x2+(2a-4)x+a20，即 ，所以 f(x)在（0，1）内单)(x调递增，在（1，+）内递增，又 f(x)在 x=1 处连续，因此 f(x)在(0,+)内递增；（3）智浪教育普惠英才文库当 00，解得 x2-0)(f a12a+ ，因此，f(x)在(0,2-a- )内单调递增，在(2-a+ ,+)内也单调a12a1递增，而当 2-a- 2x.)2,0(x证明 设 f(x)=sin
5、x+tanx-2x，则 =cosx+sec2x-2，当 时，)(xf )2,0(x（因为 0f(0)=0，即 sinx+tanx2x.,0,7.利用导数讨论极值。例 8 设 f(x)=alnx+bx2+x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值，试求 a 与 b 的值，并指出这时f(x)在 x1与 x2处是取得极大值还是极小值。解 因为 f(x)在(0,+)上连续，可导，又 f(x)在 x1=1，x 2=2 处取得极值，所以，又 +2bx+1，所以 解得0)(ff xaf)( ,042ba.61,3b所以 .xxfxf 3)2(13)(,61ln32)(2所以当 x(0,1)时， ，所以 f
6、(x)在(0,1上递减；0)(f当 x(1,2)时， ，所以 f(x)在1，2上递增；x当 x(2,+)时， ，所以 f(x)在2，+）上递减。)(f综上可知 f(x)在 x1=1 处取得极小值，在 x2=2 处取得极大值。例 9 设 x0,y0,1，试求函数 f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。解 首先，当 x0,y0,1时，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x =(1-y)2xxyyxsin)1(2)(sin智浪教育普惠英才文库，令 g(x)= ,xyxysin)1(sin)1(si 2xsin,taco2
7、xg当 时，因为 cosx0,tanxx，所以 ；,00)(xg当 时，因为 cosx0，所以 ；,2x )(又因为 g(x)在(0,)上连续，所以 g(x)在(0,)上单调递减。又因为 0g(x)，即 ，0sin)1(sixy又因为 ，所以当 x(0,),y(0,1)时，f(x,y)0.0sin)1(2xy其次，当 x=0 时，f(x,y)=0；当 x= 时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.当 y=1 时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当 y=1 时，f(x,y)=sinx0.综上，当且仅当 x=0 或 y=0 或 x= 且 y=1 时，f(x,y)取最小值 0。三、基
8、础训练题1 =_.nn32lim12已知 ，则 a-b=_.21liban3 _.2314lim)(2coslim23xnn4 _.21)(lixx5计算 _.)1(lili 22xnxn6若 f(x)是定义在(-,+)上的偶函数，且 存在，则 _.0(f)0(f7函数 f(x)在(-,+)上可导，且 ，则 _.1)2f hh2lim08若曲线 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0，则点 P 坐标为_.9函数 f(x)=x-2sinx 的单调递增区间是_.智浪教育普惠英才文库10函数 的导数为_.21ln)(xxf11若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，求实数 a.2)
9、(ay)41,(M4112.求 sin290的近似值。13设 00 时，比较大小：ln(x+1) _x.9.函数 f(x)=x5-5x4+5x3+1,x-1,2的最大值为_，最小值为_.10曲线 y=e-x(x0)在点 M(t,e-t)处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为 S(t)，则 S(t)的最大值为_.11若 x0，求证：(x 2-1)lnx(x-1) 2.12函数 y=f(x)在区间(0,+)内可导。导函数 是减函数，且 0，x 0(0,+).)(f )(fy=kx+m 是曲线 y=f(x)在点(x 0,f(x0)处的切线方程，另设 g(x)=kx+m， （1）用 x0
10、,f(x0),表示 m；（2）证明：当 x(0,+)时，g(x)f(x)；（3）若关于 x 的不等式)(0xfx2+1ax+b 在(0,+)上恒成立，其中 a,b 为实数，求 b 的取值范围及 a,b 所满足3的关系。13.设各项为正的无穷数列x n满足 lnxn+ ,证明：x n1(nN +).)(1Nx智浪教育普惠英才文库五、联赛一试水平训练题1设 Mn=（十进制）n 位纯小数 0 只取 0 或 1（i=1,2,n-1） ，a n=1，ina|21Tn是 Mn中元素的个数，S n是 Mn中所有元素的和，则 _.nTSlm2若(1-2 x)9展开式的第 3 项为 288，则 _.nnxx11li23设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0)，若对任意 xln(3a),ln(4a)，不等式|m-f -1(x)|+ln1.
