1、智浪教育普惠英才文库第十章 直线与圆的方程一、基础知识1解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如 x2+y2=1 是以原点为圆心的单位圆的方程。2求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步） 。3直线的倾斜角和斜率：直线向上
2、的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。4直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式： ；（5）两点式： ；（6）1bya 1212yx法线式方程：xcos+ysin=p（其中 为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离） ；（7）参数式： （其中 为该直线倾斜角） ，t 的几何意义是定点 P0（x 0, y0）sinco0tyx到动点 P（x, y）的有向
3、线段的数量（线段的长度前添加正负号，若 P0P 方向向上则取正，否则取负） 。5到角与夹角：若直线 l1, l2的斜率分别为 k1, k2，将 l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫 l1到 l2的角；l 1与 l2所成的角中不超过 900的正角叫两者的夹角。若记到角为 ，夹角为 ，则 tan= ,tan= .2121k6平行与垂直：若直线 l1与 l2的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合，则 l1/l2的充要条件是 k1=k2；l 1 l2的充要条件是 k1k2=-1。7两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式：|P 1P2|= 。2121)()(
4、yx8点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式： 。20|BACd9直线系的方程：若已知两直线的方程是 l1：A 1x+B1y+C1=0 与 l2：A 2x+B2y+C2=0，则过 l1, l2交点的直线方程为 A1x+B1y+C1+(A 2x+B2y+C2=0；由 l1与 l2组成的二次曲线方程为（A 1x+B1y+C1） （A 2x+B2y+C2）=0；与 l2平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0( ).110二元一次不等式表示的平面区域，若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B0，则 Ax+By+C0表示的区域为 l 上方的部分，Ax+By+C0)。
5、其圆心为 ，半径为2,ED。若点 P(x0, y0)为圆上一点，则过点 P 的切线方程为FED4212.200 FExyx14根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分） ，这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x 2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为(D 1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。二、方法与例题1坐标系的选取：建立坐标系
6、应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。例 1 在 ABC 中，AB=AC，A=90 0，过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E，求证：ADB=CDE。证明 见图 10-1，以 A 为原点，AC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系。设点 B，C 坐标分别为（0,2a）,(2a,0)，则点 D 坐标为（a, 0） 。直线 BD 方程为 ， 直线12ayxBC 方程为 x+y=2a， 设直线 BD 和 AE 的斜率分别为 k1, k2，则 k1=-2。因为 BD AE，所以 k1k2=-1.所以 ，所以直线 AE 方程为 ，由 解得点 E 坐标为21xyayx,。a3,4所以直线 DE 斜
7、率为 因为 k1+k3=0.234ak所以BDC+EDC=180 0，即BDA=EDC。例 2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为 600。证明 以 A 为原点，平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴，建立直角坐标系见图10-2，设D 的半径等于 BC 边上的高，并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB，AC 的交点分别为 E，F，设半径为 r，则直线 AB，AC 的方程分别为 , .设D 的y3x方程为(x-m) 2+y2=r2.设点 E，F 的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2)，则 ,11智浪教育普惠
8、英才文库，分别代入并消去 y 得223xy .03).(0)( 22211 rxmxrm所以 x1, x2是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。由韦达定理 ，所以4,221rx|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2=4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2.所以|EF|=r。所以EDF=60 0。2到角公式的使用。例 3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1，C 2，正 PQR 三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R 不可能在双曲线的同一支上。证明 假设 P，Q，R 在同一支上，不妨设在右侧一支 C1上，并设 P，Q，R 三
9、点的坐标分别为 且 0-1，在（1）区域里，求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。解 （1）由已知得 或,032,4xy.032,41xy解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示，其中各直线方程如图所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4.(2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距，直线 l 与阴影相交，因为 a-1，所以它过顶点 C 时，f(x, y)最大，C 点坐标为（-3，7） ，于是 f(x, y)的最大值为 3a+7. 如果-12，则 l 通过B（3，1）时，f(x, y)取最小值为-3a+1
10、.6参数方程的应用。例 7 如图 10-5 所示，过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点，在该直线上取 P 点，使 P到直线 y=2 的距离等于|PQ|，求 P 点的轨迹方程。解 设直线 OP 的参数方程为 （t 参数） 。sincoy代入已知圆的方程得 t2-t2sin=0.所以 t=0 或 t=2sin。所以|OQ|=2|sin|，而|OP|=t.所以|PQ|=|t-2sin|，而|PM|=|2-tsin|.所以|t-2sin|=|2-tsin|. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sin=-1.当 t=2 时，轨迹方程为 x2+y2=4；当 sin=1 时，轨迹方程为 x=
11、0.7与圆有关的问题。例 8 点 A，B，C 依次在直线 l 上，且 AB=ABC，过 C 作 l 的垂线，M 是这条垂线上的动点，智浪教育普惠英才文库以 A 为圆心，AB 为半径作圆，MT 1与 MT2是这个圆的切线，确定 AT 1T2垂心 的轨迹。解 见图 10-6，以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴建立坐标系，H 为 OM 与圆的交点，N 为T1T2与 OM 的交点，记 BC=1。以 A 为圆心的圆方程为 x2+y2=16，连结 OT1，OT 2。因为 OT2 MT2，T 1H MT2，所以OT2/HT1，同理 OT1/HT2，又 OT1=OT2，所以 OT1HT2是菱形。所以 2O
12、N=OH。又因为 OM T1T2，OT 1 MT1，所以 ONOM。设点 H 坐标为（x,y） 。OT点 M 坐标为(5, b)，则点 N 坐标为 ，将坐标代入 =ONOM，再由 得2,yx21OTxyb5.51651622yx在 AB 上取点 K，使 AK= AB，所求轨迹是以 K 为圆心，AK 为半径的圆。4例 9 已知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A，B，且 OA，OB 与 x 轴正方向所成的角是 和 ，见图 10-7，求证：sin(+)是定值。证明 过 D 作 OD AB 于 D。则直线 OD 的倾斜角为 ，因为 OD AB，所以 22,12tan所以 。所以t .
13、542tan1)sin( 例 10 已知O 是单位圆，正方形 ABCD 的一边 AB 是O 的弦，试确定|OD|的最大值、最小值。解 以单位圆的圆心为原点，AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系，设点 A，B 的坐标分别为 A(cos,sin),B(cos,-sin)，由题设|AD|=|AB|=2sin，这里不妨设 A 在 x 轴上方，则 (0,).由对称性可设点 D 在点 A 的右侧（否则将整个图形关于 y 轴作对称即可） ，从而点 D 坐标为(cos+2sin,sin)，所以|OD|= 1cosin4sisin)i2(cos 22 = .i3in 因为 ，所以242si2.12|1OD当
14、时，|OD| max= +1；当 时，|OD| min=8387.例 11 当 m 变化且 m0 时，求证：圆 (x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。智浪教育普惠英才文库证明 由 消去 m 得 a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上。设公切1,2ba线方程为 y=kx+b，则由相切有 2|m|= ，对一切 m0 成立。即(-21|)()(|kbmk4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0 对一切 m0 成立所以 即 当 k 不存在时直线为 x=1。所以公切线方程 y=,0134bk.47
15、,3和 x=1.47x三、基础训练题1已知两点 A(-3,4)和 B(3,2)，过点 P(2,-1)的直线与线段 AB 有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是_.2已知 0,，则 的取值范围是_.sin2co3y3三条直线 2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0 围成一个三角形，当点 P(x, y)在此三角形边上或内部运动时，2x+y 的取值范围是_.4若三条直线 4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4 能围成三角形，则 m 的范围是_.5若 R。直线(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0 与点 P(-2,2)的距离为 d，比较大小：d_ .26一圆经过 A(4,2)
16、, B(-1,3)两点，且在两个坐标轴上的 四个截距的和为 14，则此圆的方程为_.7自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x 2+y2-4x-4y+7=0 相切，则光线 l 所在的方程为_.8D 2=4F 且 E0 是圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切的_条件.9方程|x|-1= 表示的曲线是_.)1(y10已知点 M 到点 A（1，0） ，B（a,2）及到 y 轴的距离都相等，若这样的点 M 恰好有一个，则 a 可能值的个数为_.11已知函数 S=x+y，变量 x, y 满足条件 y2-2x0 和 2x+y2，试求 S
17、 的最大值和最小值。12A，B 是 x 轴正半轴上两点，OA=a，OB=b(a0,N=(x,y)|(x-1)2+(y- )2=a2,a0.2a3M N ，a 的最大值与最小值的和是_.6圆 x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 交于 P，Q 两点，O 为原点，OP OQ，则m=_.7已知对于圆 x2+(y-1)2=1 上任意一点 P(x,y)，使 x+y+m0 恒成立，m 范围是_.8当 a 为不等于 1 的任何实数时，圆 x2-2ax+y2+2(a-2)y+2=0 均与直线 l 相切，则直线 l的方程为_.9在 ABC 中，三个内角 A，B，C 所对应的边分别为 a,b,c
18、，若 lgsinA,lgsinB, lgsinC成等差数列，那么直线 xsin2A+ysinA=a 与直线 xsin2B+ysinC=c 的位置关系是_.10设 A=(x,y)|0x2,0y2,B=(x,y)|x10,y2,yx-4是坐标平面 xOy 上的点集，C= 所围成图形的面积是 Byxyxyx),(),(, 212121_.11求圆 C1：x 2+y2+2x+6y+9=0 与圆 C2：x 2+y2-6x+2y+1=0 的公切线方程。12设集合 L=直线 l 与直线 y=2x 相交，且以交点的横坐标为斜率。（1）点(-2,2)到 L 中的哪条直线的距离最小？（2）设 aR +，点 P(-
19、2, a)到 L 中的直线的距离的最小值设为 dmin，求 dmin的表达式。13已知圆 C：x 2+y2-6x-8y=0 和 x 轴交于原点 O 和定点 A，点 B 是动点，且OBA=90 0，OB交C 于 M，AB 交C 于 N。求 MN 的中点 P 的轨迹。五、联赛一试水平训练题1在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若 a 为无理数，过点(a,0)的所有直线中，每条直线上至少存在两个有理点的直线有_条。2等腰 ABC 的底边 BC 在直线 x+y=0 上，顶点 A(2,3)，如果它的一腰平行于直线 x-4y+2=0，则另一腰 AC 所在的直线方程为_.3若方程 2mx2+(8
20、+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0 表示表示条互相垂直的直线，则m=_.4直线 x+7y-5=0 分圆 x2+y2=1 所成的两部分弧长之差的绝对值是_.5直线 y=kx-1 与曲线 y= 有交点，则 k 的取值范围是_.2)(16经过点 A(0,5)且与直线 x-2y=0, 2x+y=0 都相切的圆方程为_.7在直角坐标平面上，同时满足条件：y3x, y x, x+y100 的整点个数是31_.智浪教育普惠英才文库来源：高考资源网高考资源网()8平面上的整点到直线 的距离中的最小值是_.543xy9y=lg(10-mx 2)的定义域为 R，直线 y=xsin(arc
21、tanm)+10 的倾斜角为_.10已知 f(x)=x2-6x+5，满足 的点(x,y)构成图形的面积为_.0)(,yfx11已知在 ABC 边上作匀速运动的点 D，E，F，在 t=0 时分别从 A，B，C 出发，各以一定速度向 B，C，A 前进，当时刻 t=1 时，分别到达 B，C，A。（1）证明：运动过程中 DEF 的重心不变；（2）当 DEF 面积取得最小值时，其值是 ABC 面积的多少倍？12已知矩形 ABCD，点 C(4,4)，点 A 在圆 O：x 2+y2=9(x0,y0)上移动，且 AB，AD 两边始终分别平行于 x 轴、y 轴。求矩形 ABCD 面积的最小值，以及取得最小值时点
22、 A 的坐标。13已知直线 l: y=x+b 和圆 C：x 2+y2+2y=0 相交于不同两点 A，B，点 P 在直线 l 上，且满足|PA|PB|=2,当 b 变化时，求点 P 的轨迹方程。六、联赛二试水平训练题1设点 P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20 上任意一点，求 x2-xy+y2的最大值、最小值。2给定矩形（长为 b，宽为 a） ，矩形（长为 c、宽为 d） ，其中 adcb，求证：矩形能够放入矩形的充要条件是：(ac-bd) 2+(ad-bc)2(a 2-b2)2.3在直角坐标平面内给定凸五边形 ABCDE，它的顶点都是整点，求证：见图 10-8，A 1，B 1，C
23、 1，D 1，E 1构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。4在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，试证：存在一个同心圆的集合，使得：（1）每个整点都在此集合的某一圆周上；（2）此集合的每个圆周上，有且只有一个整点。5在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线 l1,l2,，l n，的直线族，它满足条件：（1）点（1,1）l n,n=1,2,3,；（2）k n+1a n-bn，其中 kn+1是 ln+1的斜率，a n和bn分别是 ln在 x 轴和 y 轴上的截距，n=1,2,3,；（3）k nkn+10, n=1,2,3,.并证明你的结论。6在坐标平面内，一圆交 x 轴正半径于 R，S，过原点的直线 l1,l2都与此圆相交，l 1交圆于 A，B，l 2交圆于 D，C，直线 AC，BD 分别交 x 轴正半轴于 P，Q，求证：.|1|1| OQPSOR
