1、第 3章 曲线曲面的几何演化及应用3.1 曲线演化问题3.1.1 曲线演化的一般方程式封闭 曲线 演化的方程局部 曲线切矢量单位切矢量法矢量曲线 C演化的一般方程式曲线 S演化的一般方程式3.1.2 演化方程的标注质点法3.2 水平集方法3.2.1 基本概念平面封闭 曲线 C为嵌入函数 u(x,y) 的水平（线）集曲线 C演化的水平集方程式N的方向与曲线梯度方向相反，则有 (x,y)在闭曲线 C外部(x,y)在闭曲线 C内部(x,y)在闭曲线 C上Hamilton-Jacobi型，迎风方案 一般 c=0，零水平集3.2.2 嵌入函数的选用和初始化(x,y)在闭曲线 C外部(x,y)在闭曲线 C
2、内部初始曲线是心在 (x0,y0)，半径为 R的圆，嵌入函数为 带符号的距离函数 3.2.3 速度场的延拓曲线 C演化的水平集方程式交替运行两层系统延拓法1）解初值问题：2）解方程：演化中能保持带符号的距离函数但效率低3.2.4 自然延拓与重新开始曲线 的运动对嵌入函数的所有 水平集都成立平均曲率运动 (MCM)方程对应的水平集方程重新初始化方程k为所有 水平集的曲率自然延拓不能保证 u在演化过程中保持为带符号的距离函数，某些局部 可能远大于 1出现尖峰或深谷，也可能远小于 1出现平坦区，导致迭代不稳定，需重新初始化。水平集方法的优点：1）水平集方法的 PDE是直接在固定坐标系 (x,y)中给出的，是一种无参数的方法；2）数值实现时可以采用迎风方案得到粘滞解；3）曲线演化过程中可能产生拓扑变化，可以自动嵌入到 u(x,y,t)的变化中，没有跟踪拓扑变化和修改实现方案的必要。水平集方法的缺点： 计算复杂度大 O(N2)3.4 变分水平集方法3.4.1 基本概念测地线活动轮廓模型的能量泛函泛函的梯度下降流嵌入函数的 PDEHamilton-Jacobi型，迎风方案 双曲型
