1、双勾函数与不等式的应用一、双勾函数下面研究函数1、定义域:2、值域:把上式去分母,移项,合并同类项,整理得:解得:当且仅当 x=1时, y=2x=-1时, y=-2当且仅当 x=1时, y=2当且仅当 x=-1时, y=-23、奇偶性其定义域是关于原点对称的,且满足 f(-x)=-f(x)形式,所以此函数为奇函数。4、图象如右o xy1-12-2y=x5、单调性从图易知单调递增区间为单调递减区间为例 1 求函数 的值域解:令 x-1=u, 则上式可化为例 2 求函数 的最值。解:上式可化为所以函数在 上单调递增。练习: 1、求函数2、求函数答案答案3、已知正数 a、 b满足 求 a+b的最小值
2、。4、求函数 的最小值。解:函数5、求函数 的最值例 3 如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底 宽为 2米的无盖长方体沉淀箱。污水从 A孔流入,经沉淀后从 B孔流出。 设箱体的长度为 a米,高度为 b米。已知流出的水中该杂质的质量分数 与 a,b的乘积 ab成反比。现有制箱材料 60平方米。问当a,b各为多少米 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小( A、 B孔的面积忽略 不计)。 A Bab2解法一:依题意,即所求的 a,b的值使 ab最大。由题设知4b+2ab+2a=60 (a0,b0),即 a+2b+ab=30 (a0,b0)。当且仅当 a=2b时,上式取等号。由 a0, b
3、0, 解得 00为比例系数,依题意,即所求的 a,b值使 y值最小。 根据题设,有 4b+2ab+2a=60(a0,b0),得 b=30-a/2+a(0a30), 当 a+2=64/(a+2)时取等号, y达最小值。 这时 a=6,a=-10( 舍去)。将 a=6代入 式得 b=3。 故当 a为 6米, b为 3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。例 4、已知直角三角形的周长为定值 l, 求它的面积的最大值。解:由已知, 得故面积于是当 面积有最大值练习 1、已知圆柱的体积为定值 V, 求圆柱全面积的最小值。答案2、从半径为 R的圆形铁片里剪去一个扇形,然后把剩下部分卷成一个圆锥形漏斗,要使漏斗有最大容量,剪去扇形的的圆心角 应是多少弧度? 答案1、所以原式可化为:而此函数在区间 上是单调减函数因此当且仅当 时函数有最小值 而无最大值。2、当且仅当返回3、4、法一:显然,当 sin2x=1时,上面两个式子同时成立,故原式有最小值法二、可设 sin2x=t, 再利用函数的单调性求解。 返回1、法一:设圆柱的底面半径为 r, 高为 h, 全面积为 S。 则法二:返回