1、2017 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学文一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 A=1，2，6，B=2，4，C=1，2，3，4，则(AB)C=( )A.2B.1，2，4C.1，2，4，6D.1，2，3，4，6解析：集合 A=1，2，6，B=2，4，C=1，2，3，4，(AB)C=1，2，4，61，2，3，4=1，2，4.答案：B2.设 xR，则“2-x0”是“|x-1|1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由 2-x0 得 x2，由|x-1|1 得-1x-11，得 0x2.则“2-x0”
2、是“|x-1|1”的必要不充分条件.答案：B3.有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取 2支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. 4B. 35C. 2D. 1解析：有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，基本事件总数 n= =10，25C取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数 m= =4，14取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 .05mpn答案：C4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 19，则输出 N 的值
3、为( )A.0B.1C.2D.3解析：第一次 N=19，不能被 3 整除，N=19-1=183 不成立，第二次 N=18，18 能被 3 整除，N= =6，N=63 不成立，18第三次 N=6，能被 3 整除，N= =23 成立.6输出 N=2.答案：C5.已知双曲线 (a0，b0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF21xya是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A. 14xyB.2C.213xyD.2解析：双曲线 (a0，b0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF21xya是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，可得 c=2， ，即
4、=3， =3，3ba22ca解得 a=1，b= ，双曲线的焦点坐标在 x 轴，所得双曲线方程为： .3 213yx答案：D6.已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数.若 a=-f(log2 )，b=f(log 24.1)，c=f(2 0.8)，则15a，b，c 的大小关系为( )A.abcB.bacC.cbaD.cab解析：奇函数 f(x)在 R 上是增函数，a=-f(log 2 )=f(log25)，b=f(log 24.1)，c=f(2 0.8)，15又 12 0.82log 24.1log 25，f(2 0.8)f(log 24.1)f(log 25)，即 cba.答案：C7.设函数 f
5、(x)=2sin(x+)，xR，其中 0，|x.若 f( )=2，f( )=0，581且 f(x)的最小正周期大于 2，则( )A.= ，=231B.= ，= C.= ，= 24D.= ，=137解析：由 f(x)的最小正周期大于 2，得 ，42T又 f( )=2，f( )=0，得 ，5811538T=3，则 ，即 = .f(x)=2sin(x+)=2sin( x+)，23223由 ，得 sin(+ )=1. ，kZ.55sin88f5151k取 k=0，得 = .= ，= .1232答案：A8.已知函数 f(x)= 设 aR，若关于 x 的不等式 f(x)| +a|在 R 上恒成立，12x，
6、 2x则 a 的取值范围是( )A.-2，2B.-2 ，23C.-2，2 D.-2 ，2 解析：根据题意，函数 f(x)= 的图象如图：21x，令 g(x)=| +a|，其图象与 x 轴相交与点(-2a，0)，2x在区间(-，-2a)上为减函数，在(-2a，+)为增函数，若不等式 f(x)| +a|在 R 上恒成立，则函数 f(x)的图象在 g(x)上的上方或相交，2x则必有 f(0)g(0)，即 2|a|，解可得-2a2.答案：A二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.已知 aR，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为 .2ai解析：aR，i 为虚数单位， .2
7、12145i aii ai由 为实数，可得 =0，解得 a=-2.2ai5a答案：-210.已知 aR，设函数 f(x)=ax-lnx 的图象在点(1，f(1)处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为 .解析：函数 f(x)=ax-lnx，可得 f(x)=a- ，切线的斜率为：k=f(1)=a-1，1x切点坐标(1，a)，切线方程 l 为：y-a=(a-1)(x-1)，l 在 y 轴上的截距为：a+(a-1)(-1)=1.答案：111.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 .解析：设正方体的棱长为 a，这个正方体的表面积为 18，6a 2=1
8、8，则 a2=3，即 a= ，3一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径，即 a=2R，即 R= ，则球的体积 V= .3323492答案： 912.设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若FAC=120，则圆的方程为 .解析：设抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1，0)，准线 l：x=-1，点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切与点 A，FAC=120，FAO=30， ，OA= ，A(0， )，1tan3OFA33如图所示：C(-1，3)，圆的半径为 CA=1，故要
9、求的圆的标准方程为 (x+1) 2+(y- )2=1.3答案：(x+1) 2+(y- )2=1313.若 a，bR，ab0，则 的最小值为 .41ab解析：a，bR，ab0，44212111424bbabab当且仅当 即4ab，24ab，即 a= ，b= 或 a=- ，b=- 时取“=”；上式的最小值为 4.4124841248答案：414.在ABC 中，A=60，AB=3，AC=2.若 ， ，且2BDCAEBR=-4，则 的值为 .ADE解析：如图所示，ABC 中，A=60，AB=3，AC=2， ，2BDC ，212333ADBAABAC又 (R)，EC 2212121333CB ，221c
10、os6034 ，解得 = .13答案：三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 asinA=4sinB，ac= (a2-5b2-c2).()求 cosA 的值；()求 sin(2B-A)的值.解析：()由正弦定理得 asinB=bsinA，结合 asinA=4bsinB，得 a=2b.再由 ac= (a2-5b2-c2)，得 b2+c2-a2= ac，代入余弦定理的推论可求 cosA 的值；5()由()可得 sinA= ，代入 asinA=4bsinB，得 sinB，进一步求得
11、 cosB.利用倍角公式求 sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得 sin(2B-A)的值.答案：()由 ，得 asinB=bsinA，siniabAB又 asinA=4bsinB，得 4bsinB=asinA，两式作比得： ，a=2b.4ab由 ac= (a2-b2-c2)，得 b2+c2-a2= ac，55由余弦定理，得 cosA= ；225accb()由()，可得 sinA= ，代入 asinA=4bsinB，得 sinB=asinA4b=55.由()知，A 为钝角，则 B 为锐角，cosB= .251sinB于是 sin2B=2sinBcosB= ，cos2B=1-2sin 2B
12、= ，4535故 sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA= .2516.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍.分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(I)用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解析：()
13、直接由题意结合图表列关于 x，y 所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；()写出总收视人次 z=60x+25y.化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.答案：()由已知，x，y 满足的数学关系式为 即70605320xyy，76020xyy，该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：()设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z=60x+25y.考虑 z=60x+25y，将它变形为 ，这是斜率为 ，随 z 变化的一族平行直125zyx125线.为直线在 y 轴上的截距，当 取得最大值时，z 的值最大.25z2又x，
14、y 满足约束条件，由图可知，当直线 z=60x+25y 经过可行域上的点 M 时，截距最大，即 z 最大.解方程组 得点 M 的坐标为(6，3).z760xy，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多.17.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2.(I)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；(II)求证：PD平面 PBC；(II)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.解析：()由已知 ADBC，从而DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角，由此能求出异面直线 AP 与
15、 BC 所成角的余弦值.()由 AD平面 PDC，得 ADPD，由 BCAD，得 PDBC，再由 PDPB，得到 PD平面PBC.()过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角，由 PD平面 PBC，得到DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角，由此能求出直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.答案：()由已知 ADBC，故DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角.因为 AD平面 PDC，所以 ADPD.在 RtPDA 中，由已知，得 AP= ，25ADP故 cosDAP= .5AP
16、所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 .5()因为 AD平面 PDC，直线 PD 平面 PDC，所以 ADPD.又因为 BCAD，所以 PDBC，又 PDPB，所以 PD平面 PBC.()过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角.因为 PD平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角.由于 ADBC，DFAB，故 BF=AD=1，由已知，得 CF=BC-BF=2.又 ADDC，故 BCDC，在 RtDCF 中，可得 sinDFP= .5PDF所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .
