1、1数列求和的基本方法归纳教师：王光明数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式： dnanS2)1(2)(112、等比数列求和公式： )()(11 qqnnn3、 4、)(21kSn )12(612nkSn5、 213)(nk例 1 已知 ，求 的前 n 项和.log1l
2、23x nxx32解：由 21loglll 3323 由等比数列求和公式得 （利用常nnxxS3用公式） 1xn1)(2)(nn例 2 设 Sn1+2+3+n，nN *,求 的最大值.1)3()nSnf解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用2Sn )2(1n公式）2 1)32()nSnf 6432 6450)8(12n 当 ，即 n8 时，)(maxf二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an b n的前 n 项和，其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列.例 3 求和： 132)2(7531nxxS解：由题可知， 的通项是
3、等差数列2n1的通项与等比数列 的通1)(n 1nx项之积设 . （设制错nn xxxxS)12(7531432 位）得 （错位相减 ）nnn xS )12(1)( 1432 再利用等比数列的求和公式得： nnnxSx)(1)( 21)()(2Snn 例 4 求数列 前 n 项的和.,264,3n解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积n21设 nnS232 （设制1461错位）得 （错位相1432 2)1( nnS减 ）1n3 124nnS19 （2014濮阳二模）设 an是等差数列，b n是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a 3+b5=21，a 5+b3=
4、13（）求a n、 bn的通项公式；（）求数列 的前 n 项和 Sn考点： 等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： （）设a n的公差为 d，b n的公比为 q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d 和 q，进而可得a n、b n的通项公式（）数列 的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前 n 项和 Sn解答：解：（）设a n的公差为 d，b n的公比为 q，则依题意有 q0 且解得 d=2，q=2所以 an=1+（n 1）d=2n 1，b n=qn1=2n1（） ，得 ，= = 点评： 本题主要考查等差数列的通
5、项公式和用错位相减法求和21 （2014天津模拟）在等差数列a n中，a 1=3，其前 n 项和为 Sn，等比数列b n的各项均为正数，b1=1，公比为 q，且 b2+S2=12， （）求 an 与 bn；（）设 cn=anbn，求数列c n的前 n 项和 Tn考点： 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和菁优网版权所有专题： 综合题；等差数列与等比数列分析：（1）根据 b2+S2=12，b n的公比 ，建立方程组，即可求出 an 与 bn；4（2）由 an=3n，bn=3n 1，知 cn=anbn=n3n，由此利用错位相减法能求出数列c n的前 n 项和Tn解答： 解：（1）在等
6、差数列a n中，a 1=3，其前 n 项和为 Sn，等比数列b n的各项均为正数，b 1=1，公比为 q，且 b2+S2=12， b 2=b1q=q， ， （3 分）解方程组得，q=3 或 q=4（舍去） ，a 2=6（5 分）a n=3+3（n1 ）=3n ，b n=3n1 （7 分）（2）a n=3n，b n=3n1，c n=anbn=n3n，数列c n的前 n 项和Tn=13+232+333+n3n，3T n=132+233+334+n3n+1，2T n=3+32+33+3nn3n+1= n3n+1= n3n+1，T n= 3n+1 点评： 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法
7、，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 .)(1na例 5 求证： nnCC2(253210 证明： 设 . nnS)把式右边倒转过来得（反0113)2()1( nnnn 序）5又由 可得mnC. nnnn CS 1103)2()1(+得 （反序相加）nn2)1()0 nnS2)1(例 6 求 的值 89sini3si2i1sin 22 解：设 . i22将式右边反序得. （反 1sini3sin8sin9si 22222
8、S序） 又因为 coi),0co(i 22xxx+得 （反序相加）89 )89cos(sin)2cs(sin)1c(sin2 22222 S S44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 7 求数列的前 n 项和： ，231,7,412naa解：设 )()()()11S将其每一项拆开再重新组合得（分)2374()1(2 naann组）当 a1 时， （分组3Sn)1求和）当 时， 2)(1nann2)13(1nan例 8 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.6解：设 kka
9、k 23)12( nkS1 )(231nk将其每一项拆开再重新组合得 Sn nknkk121312（分组） )21()(3)( 223 nnn （分组()12)1n求和） )(227已知等比数列a n满足 a2=2，且 2a3+a4=a5，a n0（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn=（ 1） n3an+2n+1，数列b n的前项和为 Tn，求 Tn考点： 等比数列的前 n 项和；数列的求和菁优网版权所有专题： 计算题；等差数列与等比数列分析：（）设等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，则 ，解方程可求 a1，q 结合等比数列的通项公式即可求解（）由 bn=（ 1） n3an+2n
10、+1=3（2） n1+2n+1，利用分组求和，结合等比与等差数列的求和公式即可求解解答： （本小题满分 12 分）解：（）设等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，则 （2 分）整理得 q2q2=0，即 q=1 或 q=2，a n0，q=2代入可得 a1=1 （6 分）（）b n=（ 1） n3an+2n+1=3（2） n1+2n+1，（9 分）7T n=312+48+（ 2） n1+（3+5+2n+1）=3 =（ 2） n+n2+2n1（12 分）点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，分组求和方法的应用，属于数列知识的简单综合五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中
11、的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解 （裂项） 如：（1） （2）)(1(nffan nnta)1ta()cos(1i （3） （4）)(n )12()2(an（5） )(1)(21)( an(6) nnnnnn S2)1(,2)1()()( 1 则例 9 求数列 的前 n 项和.,321,解：设 nnan 1（裂项）则 （裂项132nSn求和） )()()1( n例 10 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项121nan 12nnab的和.解： 2n8 )1(82nnb（裂项） 数列b n的前 n
12、 项和（裂项求)1()413()21()(8 nSn和） )(8n例 11 求证： 1sinco89cos12cos1cos0 2解：设 1S nnta)1ta()cos(i （裂项） （裂项求 89cos12cos1s0S和） 8tan9t)2tan3(t)tan(t)0tan(t1in t89tsi 1cotsisi2 原等式成立如： na是公差为 d的等差数列，求 1nka解：由 1 10kkkda 1111231nnkkk nadadaa 1nd六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.9例
13、 12 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设 Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊)180cos(n性质项）S n （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例 13 数列a n： ，求 S2002.nnaa12321,解：设 S2002 0由 可得nna12321,654a,2,3, 1110987 a ,2,3,1 656466266 kkkkkk aa （找特殊性质05项） S 2002 （
14、合20321aa并求和） )()()( 626112876321 kkkaa02091194aa 202019a 4636kkkk5例 14 在各项均为正数的等比数列中，若 的值.103231365 loglogl,9aaa求解：设 1032313logloglaSn 由等比数列的性质 （找特殊性qpnmqpn质项）10和对数的运算性质 得NMaaalogllog（合并求和）)log(l)()(log 6353932310313 aaSn )(log)(log)(l 653923103 aa l9og10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例 15 求 之和.11个n解：由于 （找通项及)10(9911 kkk个个特征） 1个n （分组求)10(9)0(9)()10(932 n和） )1()(321 个nn 910)9n )(8n例 16 已知数列a n： 的值.11)(,)3(18nnaa求解： （找通项及特)4(2)()(11n征） （设制)(31)4(218 nn
