1、1有理数的概念一、本节学习指导本节知识点比较多，同学们要认真学习并加以总结，用自己的语言来理解部分知识是有助于我们记忆的。对于本节的知识如果一时记不住也不要急，毕竟我们才刚刚进入初级数学的学习。本节有配套学习视频。二、知识要点1、正数和负数（1） 、大于 0 的数叫做正数。（2） 、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。（3） 、数 0 既不是正数，也不是负数，0 是正数与负数的分界。（4） 、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。2、有理数(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.注意：0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，如：-（-2）=4，
2、这个时候的 a=-2。 不是有理数；(2)有理数的分类: 负 分 数负 整 数负 有 理 数零 正 分 数正 整 数正 有 理 数有 理 数 负 分 数正 分 数分 数 负 整 数零正 整 数整 数有 理 数(3)自然数 0 和正整数； a0 a 是正数； a0 a 是负数；a0 a 是正数或 0 是非负数； a0 a 是负数或 0 a 是非正数.3、数轴【重点】（1） 、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求： 在直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点； 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，
3、每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3（2） 、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。（3） 、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点） ；二取（取正反向） ；三选（选取单位长度） ；四标（标数字） 。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。（4） 、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数-a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a 个单位长度。4、相反数（1） 、只有符号不同的两个数叫做互
4、为相反数。2 注意：a 的相反数是-a；a-b 的相反数是 b-a；a+b 的相反数是-(a+b)=-a-b； 非零数的相反数的商为-1； 相反数的绝对值相等。（2） 、一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是 a 的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示 a 和-a，我们说这两点关于原点对称。（3） 、a 和-a 互为相反数。0 的相反数是 0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有 0。（4） 、在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。（5） 、若两个数 a、b 互为相反数，就可以得到 a+b=0；反过来若 a+b=0，则 a、b 互为相反数。
5、（6） 、多重符号的相乘由“-”的个数来定：若“-”的个数为偶数，相乘结果为正数；若“-“的个数为奇数，化简结果为负数。比如：-24（-3）（-1）（-5） ，首先由 4个负号，所以最终结果是正数，再算数字相乘得到 1205、绝对值（1） 、绝对值的定义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离。数 a 的绝对值记作|a|。（2） 、正数的绝对值等于它本身；0 的绝对值是 0（或者说 0 的绝对值是它本身，或者说 0的绝对值是它的相反数） ；负数的绝对值等于它的相反数；（注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；） 。0 是绝对值最小的数。（3） 、绝对值可表示为
6、： 或 ；)(a)0(a（4） 、 ； ；01a1（5） 、任何数的绝对值总是非负数（非负数是正数或 0） ，即|a|0。（6） 、互为相反数的两个数的绝对值相等。绝对值相等的两个数可能是互为相反数或者相等。（7） 、有理数比大小： 正数比 0 大，0 大于负数，正数大于负数； 两个负数比较，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（8） 、比较两个负数的大小的步骤如下： 先求出两个数负数的绝对值； 比较两个绝对值的大小； 根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。三、经验之谈：本节我们要理解很多的名词概念，希望同学们多读几遍。其次我们还要重点理解正数和负数的关系，
7、以及对绝对值几何意义，还有数轴的画法。总之本节我们要认真学习。3有理数的运算一、本节学习指导有理数的运算和我们小学学习的四则运算很相似，运算规律都一样，不同的是有负数参与，所以相对要复杂一些，本节要多加练习。本节有配套学习视频。二、知识要点1、有理数的加法（1） 、有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 一个数与 0 相加，仍得这个数.（2） 、加法计算步骤：先定符号，再算绝对值。（3） 、有理数加法的运算律： 加法的交换律：a+b=b+a； 加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.（4）
8、、为了计算简便 ，往往会采取以下方法：互为相反的两个数，可以先相加；符号相同的数，可以先相加；分母相同的数，可以先相加；几个数相加能得到整数，可以先相加。2、有理数的减法（1） 、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 a-b=a+（-b）.（有理数减法运算时注意两“变”：减法变加法；把减数变为它的相反数.）注：有理数的减法实质就是把减法变加法。3、有理数的乘法（1） 、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零；（2） 、一个数同 1 相乘，结果是原数；一个数同-1 相乘，结果是原数的相反数。（3） 、乘积为 1 的两个数互为倒数；注意
9、：0 没有倒数；若 ab=1a、b 互为倒数。（4） 、几个不是偶的数相乘，积的符号由负因式的个数决定。负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数是，积是负数。（5） 、有理数乘法的运算律： 乘法的交换律：ab=ba； 乘法的结合律：（ab）c=a（bc） ； 乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.4、有理数的除法（1） 、有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。（2） 、有理数除法符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。4（3） 、乘除混合运算的步骤：先把除法转化为乘法；确定积的符号；运用乘法运算律和
10、乘法法则进行计算得出结果。5、有理数的乘方（1） 、求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 an 中，a 叫做底数，n 叫做指数。（2） 、a n表示的意义是 n 个 a 相乘。如：2=222=8（3） 、分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来。如：（1/2）（4） 、负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同负号）用小括号括起来。（5） 、10 的几次方，幂的结果中 1 后面就有几个 0。如：10 5 =100000 （6） 、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是 0。1 的任何次幂都是 1。-1 的奇
11、数次幂是-1，-1 的偶数次幂是 1。6、科学记数法（1） 、把一个大于 10 数表示成 a10n 的形式（其中 a 是整数数位只有一位的数，而且 1a10，n 是正整数） ，使用的是科学计数法。（2） 、用科学记数法表示一个 n 位整数，其中 10 的指数是 n-1。例：240 000 000 用科学计数法记为 2.41087、近似数（1） 、接近实际数字，但是与实际数字还是有差别，这个数是一个近似数。（2） 、精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示。（3） 、利用四舍五入法得到的近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。（4） 、从一个数的左边的第一个非 0 数字起，
12、到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。（5） 、解题技巧：近似数精确到哪一位，只需看这个数的最末一位在原数的哪一位。当四舍五入到十位或十位以上时，应先用科学记数法表示这个数，再按要求取近似数。（6） 、a10 n中有效数字是指 a 的有效数字。7、等于本身的数汇总： 相反数等于本身的数：0 倒数等于本身的数：1，-1 绝对值等于本身的数：正数和 0 平方等于本身的数：0,1 立方等于本身的数：0,1，-1.第二章 整式的加减1单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式。2单项式系数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式数字系数，简称单项式的系数；3.单项式的次数：单
13、项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数.4多项式：几个单项式的和叫做多项式。5多项式的项与项数：多项式中每个单项式叫多项式的项; 不含字母的项叫做常数项。多项式里所含单项式的个数就是多项式的项数；6多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；常数项的次数为 0注意：（若 a、b、c、p、q 是常数）ax 2+bx+c 和 x2+px+q 是常见的两个二次三项式.57.多项式的升幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大排列起来，叫做按这个字母的升幂排列。多项式的降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从大到小排列起来，叫做按这个字母的降幂排列。（注意：多项式计算的最后
14、结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.整式：单项式和多项式统称为整式，即凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.整式分类： . （ 注意：分母上含有字母的不是整式。 ）多 项 式单 项 式整 式同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.合并同类项法：各同类项系数相加，所得结果作为系数，字母和字母指数不变。去括号的法则：(原理：乘法分配侓 )（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变；（2）括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都要改变。.添括号的法则：（）若括号前边是“+”号，括号里的各项
15、都不变号；（）若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 整式的加减：进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项；整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 整式加减的步骤：（1）列出代数式；（2）去括号；（3）添括号（4）合并同类项。整式的加减：一找：（划线） ；二“+” （务必用+号开始合并）三合：（合并）一元一次方程知识点汇总【知识点归纳】一、方程的有关概念1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数 x 的指数都是 1(次)的方程叫做一元一次方程.3方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解
16、. 注： 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.二、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，结果仍相等. 用式子形式表示为：如果 a=b，那么 ac=bc等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等. 用式子形式表示为：如果 a=b，那么 ac=bc;如果 a=b(c0)，那么 =acbc三、移项法则：把等式一边的某项变
17、号后移到另一边，叫做移项四、去括号法则 依据分配律：a（b+c）=ab+ac 1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变五、解方程的一般步骤1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)62. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成 ax = b (a0)形式)5. 系数化为 1(在方程两边都除以未知数的系数 a（或乘未知数的倒数），得到方程的解 x= ).ba六、用方程思想解决实际问题的一般步骤1.
18、 审：审题，分析题中已知什么，求什么，找:明确各数量之间的关系；2. 设：设未知数(可分直接设法，间接设法), 表示出有关的含字母的式子；3. 列：根据题意列方程；4. 解：解出所列方程, 求出未知数的值；5. 检：检验所求的解是否是方程的解，是否符合题意；6. 答：写出答案(有单位要注明答案).七、有关常用应用题类型及各量之间的关系1. 和、差、倍、分问题（增长率问题）： 增长量原有量增长率 现在量原有量增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，几分之几,增长率,减少,缩小”来体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、大、小、和、差、不足、剩余”来体现
19、.审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别.2. 等积变形问题：（1） “等积变形”是以形状改变而体积不变(等积)为前提，是等量关系的所在.常用等量关系为：形状面积变了，周长没变； 原料体积成品体积.（2）常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变圆柱体的体积公式 V=底面积高Shr 2h长方体的体积 V长宽高abc3. 劳力调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系，要注意调配对象流动的方向和数量.这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变
20、4. 数字问题： 要正确区分 “数”与“数字”两个概念, 同一个数字在不同数位上，表示的数值不同，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系列方程.列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和.（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为 a，十位数字为 b，百位数字为c，十位数可表示为 10b+a，百位数可表示为 100c+10b+a（其中 a、b、c 均为整数，且0a9， 0b9， 1c9）.7（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用2n 表示，连续的偶数用
21、2n+2 或 2n2 表示；奇数用 2n+1 或 2n1 表示.5. 工程问题（生产、做工等类问题）： 工作量工作效率工作时间 工 作 时 间工 作 量工 作 效 率 工 作 效 率工 作 量工 作 时 间 合做的效率各单独做的效率的和. 一般情况下把总工作量设为 1，完成某项任务的各工作量的和总工作量1.分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量6.行程问题：利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（
22、可把未知数看做已知量） ，填入有关的代数式是获得方程的基础.（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度时间 .速 度路 程时 间 时 间路 程速 度 要特别注意：路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少）（2）基本类型有单人往返 各段路程和总路程 各段时间和总时间 匀速行驶时速度不变相遇问题（相向而行）：快行距慢行距原总距 两者所走的时间相等或有提前量.追及问题（同向而行）；快行距慢行距原总距 两者所走的时间相等或有提前量.环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程.
23、行程问题可以采用画示意图的方法来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点.航行问题： 顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度;逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度.水流速度= （顺水速度逆水速度）21抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静速）不变的特点考虑相等关系即顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然.常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题7. 商品销售问题：（1）；%10商 品 成 本 价商 品 利 润商 品 利 润 率8（2）商品销售额商品销售价商品销售量；（3）商品
24、销售利润（销售价成本价）销售量；（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售，即按原标价的 80%出售关系式：商品售价=商品标价折扣率.8. 银行储蓄问题： 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数（存期） ，利息与本金的比叫做利率.利息的 20%付利息税. 利息=本金利率期数 本息和=本金+ 利息 利息税=利息税率（20%）(3) 利润 100% 个个注意利率有日利率、月利率和年利率: 年利率月利率12日利率365.9.溶液配制问题: 溶液质量溶质质量溶剂质量 溶质质量溶液中所含溶质的质量分数.常根据配制前后
25、的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意.10.年龄问题: 大小两个年龄差不会变；主要等量关系：抓住年龄增长，一年一岁，人人平等.11.时钟问题: 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。常用数据： 时针的速度是 0.5/分 分针的速度是 6/分 秒针的速度是6/秒12.配套问题: 这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系13.比例分配问题: 各部分之和=总量比例分配问题的一般思路为：设其中一份为 x ，利用已知的比，写出相应的代数式.14.比赛积分问题: 注意比赛的积分规则，胜、负、平各场得分之和
26、=总分15.方案选择问题: 根据具体问题，选取不同的解决方案9几何图形初步知识点总汇一、知识结构框图二、具体知识点梳理（一）几何图形(是多姿多彩的)立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.1、几何图形平面图形：三角形、四边形、圆等.主（正）视图-从正面看；2、几何体的三视图 侧（左）视图-从左面边看；俯视图-从上面看.（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型.3、立体图形的平面展开图（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面图形不一样的.（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型.4、点、线、面、体（
27、1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.面：包围着体的是面，分为平面和曲面.体：几何体也简称体.10（2）点动成线，线动成面，面动成体.（二）直线、射线、线段1、基本概念图形 直线 射线 线段端点个数 无 一个 两个表示法直线 a直线AB（BA）射线 AB 线段 a线段 AB（BA）作法叙述 作直线 AB作直线 a 作射线 AB 作线段 a作线段 AB、连接 AB延长叙述 不能延长 反向延长射线 AB 延长线段 AB反向延长线段 BA2、直线的性质经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 简称：两点确定一条直线.3、画一条线
28、段等于已知线段 （1）度量法 （2）用尺规作图法4、线段的大小比较方法 （1）度量法 （2）叠合法5、线段的中点（二等分点） 、三等分点、四等分点等定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点叫做线段的中点.图形： A M B符号：若点 M 是线段 AB 的中点，则 AM=BM= AB，AB=2AM=2BM.126、线段的性质：两点的所有连线中，线段最短.简称：两点之间，线段最短.7、两点的距离：连接两点的线段长度叫做这两点的距离.8、点与直线的位置关系 （1）点在直线上； （2）点在直线外.（三）角1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.2、角的表示法（四种）：1 ； ； ； .ABC3、角的度量单位及换算4、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角.5、角的比较方法 （1）度量法 （2）叠合法6、角的和、差、倍、分及其近似值7、画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出 15的倍数的角，在 0180之间共能画出 11 个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法，可以作出任意给定的角.8、角的平线线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.图形： 符号： 9、互余、互补（1）若1+2=90，则1 与2 互为余角.其中1 是2 的余角，2 是1 的余角.（2）若1+2=180，则1 与2 互为补角.其中1 是2 的补角，2 是1 的
