1、高中高一数学上下册知识点必修 1 各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对 象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明：(1)对 于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个 给定的集合中，任何两个元素都是不同的 对象，相同的 对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列 顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使
2、集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示：如我校的篮球队员，太平洋,大西洋 ,印度洋,北冰洋1.用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,52.集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其 记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就 说 a 属于集合 A 记作 aA，相反， a 不属于集合 A 记作 a?A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方
3、法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语 言描述法：例：不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是x?R|x-32或x|x-324、集合的分类：1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例：x|x2=-5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能(1)A 是 B 的一部分， ;(2)A 与 B 是同一集合。反之:集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA2.“相等”关系(55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同”结论：对于两
4、个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我 们就说集合 A 等于集合 B，即： A=B任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果 AB,且 A1B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 BA)如果 AB,BC,那么 AC如果 AB 同时 BA 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1.交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集.记作 AB(读作”A 交 B”)，即 AB=
5、x|xA，且 xB.2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：AB(读作 ”A 并 B”)，即 AB=x|xA，或 xB.3、交集与并集的性质：AA=A,A=,AB=BA， AA=A,A=A,AB=BA.4、全集与补集(1)补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集(即) ，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集 (或余集)(2)全集：如果集合 S 含有我 们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。(3)性质： CU(CUA)=A(CUA)A=(CUA)
6、A=U二、函数的有关概念1.函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个函数.记作：y=f(x)，xA.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数 值的集合 f(x)|xA叫做函数的值域.2 如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定 义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3 函数的定义域、值域要写成集合或区 间的形式.定义域补充能使函数式有意义的
7、实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3) 对数式的真数必须大于零;(4)指数、 对数式的底必 须大于零且不等于 1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定 义域是使各部分都有意义 的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题 有意义.( 又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。 )构成函数的三要素：定义域、 对应关系和值域再注意：(1) 构成函数三个要素是定义域、 对应关系和值 域.由于值域是由定义域和对应关
8、系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2) 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同; 定义域一致(两点必须同时具备)值域补充(1)、函数的 值域取决于定义域和对应法则，不 论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应 熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐 标 系中，以函数 y=f(x),(xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集
9、合 C，叫做函数 y=f(x),(xA)的图象.C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过 来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上.即记为 C=P(x,y)|y=f(x),xA图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线), 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲 线或离散点 组成。(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定 义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图 象变换法(请参考必修 4 三角函数)常用变换
10、方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质;2、利用数形 结合的方法分析解 题的思路。提高解 题的速度。发现解题中的错误。4.了解区间的概念(1)区间的分 类：开区间、闭区间、半开半 闭区间;(2)无穷 区间;(3) 区间的数轴表示.5.什么叫做映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之 对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 记作“f：AB”给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b
11、对应，那么，我们把元素b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应， 集合 A、B 及对应法则 f 是确定的; 对应法 则有“ 方向性”，即 强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的;对于映射 f：AB 来说，则应满足：() 集合 A 中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的;( ) 集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个;() 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的
12、点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解析法：必 须注明函数的定义 域;3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域;化简函数的解析式 ;观察函数的特征;4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范 围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自 变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为 是几个
13、函数;(2) 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.补充二：复合函数如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA)称为 f、g 的复合函数。例如:y=2sinXy=2cos(X2+1)7.函数单调性(1).增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，如果对于区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1，x2， 注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性 质，是函数的局部性质;2 必须是对于区间 D 内的任意两个自 变量 x1，x2;当 x1(2)图象的特点如果
14、函数 y=f(x)在某个区 间是增函数或减函数，那么 说 函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调 区间与单调性的判定方法(A)定义法：1 任取 x1，x2D，且 x1(B)图象法(从图象上看升降)_(C)复合函数的单调性注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选 修里学习简单易行的导数法判定 单调性吗? 8.函数的奇偶性(1)偶函数：一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)就
15、叫做偶函数.(2)奇函数:一般地， 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数.注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点 对称).(3)具有奇偶性的函数的 图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定 义域，并判断其定义域是否关于原
16、点对称;2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;3 作出相应结论：若 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数 ;若 f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0，则 f(x)是奇函数.注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 .首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则 函数是非奇非偶函数.若对称，(1) 再根据定义判定;(2)有时判定f(-x)=f(x)比较困难，可考虑根据是否有 f(-x)f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=1 来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方
17、法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定 义域.(2).求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法;已知复合函数 fg(x)的表达式时，可用 换元法，这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时 ，也可用凑配法 ;若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f(x)10.函数最大(小)值( 定义见课本 p36 页)1 利用二次函数的性质(配方法) 求函数的最大(小) 值 2 利用图象求函数的最大(小)值 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小) 值：如果函数 y=f(x)在区间a，b上单
18、调递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间a ，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小 值 f(b);第二章基本初等函数一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中1，且 *.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent) ，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个， 这两个数互为相反
19、数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成(0).由此可得：负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0， 2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.3.实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R. 注意：指数函数的底数的取 值范围，底数不能是负数、零和
20、 1.2、指数函数的图象和性质二、对数函数(一)对数1.对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：( 底数，真数， 对数式)说明：1 注意底数的限制，3 注意对数的书写格式.两个重要对数：1 常用对数：以 10 为底的对数;2 自然对数：以无理数为底的对数的对数.对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数幂底数对数指数真数幂(二)对数的运算性质注意：换底公式(二) 对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定 义域是(0 ，+).注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.2 对数函数对底
21、数的限制：函数图象都在 y 轴右侧函数的定义域为(0，+)图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸函数的值域为 R函数图象都过定点(1，0)自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降(三)幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.2、幂函数性质归纳.(1)所有的幂 函数在(0 ，+)都有定义，并且 图象都过点(1 ，1);(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区 间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸;(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当
22、趋于时， 图象在轴上方无限地逼近 轴正半轴.第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.3、函数零点的求法：求函数的零点：1(代数法) 求方程的实数根;2(几何法) 对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的 图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数.1)0，方程有两不等 实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点 .2)=0，方程有两相等 实根(二重根)，二次函数的 图象与
23、 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)0，方程无 实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点高中数学必修二第一章 立体几何初步 特殊几何体表面积公式（c 为底面周长， h 为高， h 为斜高，l 为母线）第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理： （1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这 条直线在此平面内. 符号表示为 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直 线所成的角。 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之 间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 有无数个公共点
